Как решить неравенство x × 3^(log_x(4)) < 12? Какие целые решения этого неравенства? Пожалуйста, объясните подробно и понятно.

Математика 8 класс Неравенства с логарифмами неравенство решение неравенства целые решения логарифм математика 8 класс x × 3^(log_x(4)) объяснение неравенства Новый

Для решения неравенства x × 3^(log_x(4)) < 12, давайте разберем его шаг за шагом.

Шаг 1: Понимание log_x(4)

Логарифм log_x(4) означает, что мы ищем такое число, которое в степени x даст 4. Это можно переписать через обычный логарифм:

log_x(4) = log(4) / log(x), где log - это логарифм по основанию 10 или натуральный логарифм.

Шаг 2: Подстановка в неравенство

Теперь подставим это выражение в наше неравенство:

x × 3^(log_x(4)) = x × 3^(log(4)/log(x)).

Это можно переписать как:

x × (4^(log(3)/log(x))) < 12.

Шаг 3: Упрощение

Теперь мы можем попробовать упростить неравенство. Заметим, что 4^(log(3)/log(x)) можно рассматривать как 3 в степени log(x) в некотором виде. Это может быть сложно, поэтому давайте попробуем подбирать значения x, чтобы найти целые решения.

Шаг 4: Подбор целых значений x

Проверим несколько целых значений x:

• Если x = 1:
  • 3^(log_1(4)) не определен, так как логарифм по основанию 1 не существует.
• Если x = 2:
  • log_2(4) = 2, тогда 3^(log_2(4)) = 3^2 = 9.
  • 2 × 9 = 18, что больше 12.
• Если x = 3:
  • log_3(4) = log(4) / log(3) (это число меньше 2), тогда 3^(log_3(4)) = 4.
  • 3 × 4 = 12, не подходит, так как неравенство строгое.
• Если x = 4:
  • log_4(4) = 1, тогда 3^(log_4(4)) = 3.
  • 4 × 3 = 12, не подходит, так как неравенство строгое.
• Если x = 5:
  • log_5(4) < 1, тогда 3^(log_5(4)) < 3.
  • 5 × (что-то меньше 3) < 12, значит, подходит.
• Если x = 6:
  • log_6(4) < 1, тогда 3^(log_6(4)) < 3.
  • 6 × (что-то меньше 3) < 12, значит, подходит.
• Если x = 7:
  • log_7(4) < 1, тогда 3^(log_7(4)) < 3.
  • 7 × (что-то меньше 3) < 12, значит, подходит.
• Если x = 8:
  • log_8(4) < 1, тогда 3^(log_8(4)) < 3.
  • 8 × (что-то меньше 3) < 12, значит, подходит.
• Если x = 9:
  • log_9(4) < 1, тогда 3^(log_9(4)) < 3.
  • 9 × (что-то меньше 3) < 12, значит, подходит.
• Если x = 10:
  • log_10(4) < 1, тогда 3^(log_10(4)) < 3.
  • 10 × (что-то меньше 3) < 12, значит, подходит.

Шаг 5: Вывод

Таким образом, целые значения x, удовлетворяющие неравенству, это:

• 5
• 6
• 7
• 8
• 9
• 10

Ответ: целые решения неравенства x × 3^(log_x(4)) < 12 - это 5, 6, 7, 8, 9, 10.