Как решить уравнение: 2x^3 - x^2 - 18x + 9 = 0?

Математика 8 класс Уравнения третьей степени уравнение решение уравнения математика 8 класс кубическое уравнение алгебра математические задачи нахождение корней Новый

Чтобы решить уравнение 2x^3 - x^2 - 18x + 9 = 0, мы можем использовать метод подбора корней и затем деление многочлена. Давайте рассмотрим шаги решения подробнее.

Шаг 1: Поиск рациональных корней

Сначала попробуем найти рациональные корни уравнения. Для этого воспользуемся теоремой о рациональных корнях. Она гласит, что возможные рациональные корни можно получить в виде дробей, где числитель – это делители свободного члена, а знаменатель – делители ведущего коэффициента.

• Свободный член: 9. Его делители: ±1, ±3, ±9.
• Ведущий коэффициент: 2. Его делители: ±1, ±2.

Таким образом, возможные рациональные корни: ±1, ±3, ±9, ±1/2, ±3/2, ±9/2.

Шаг 2: Подбор корней

Теперь подберем корни, подставляя их в уравнение. Начнем с простых чисел.

• Подставим x = 1:

2(1)^3 - (1)^2 - 18(1) + 9 = 2 - 1 - 18 + 9 = -8 (не корень)

• Подставим x = -1:

2(-1)^3 - (-1)^2 - 18(-1) + 9 = -2 - 1 + 18 + 9 = 24 (не корень)

• Подставим x = 3:

2(3)^3 - (3)^2 - 18(3) + 9 = 54 - 9 - 54 + 9 = 0 (корень)

Мы нашли корень x = 3.

Шаг 3: Деление многочлена

Теперь, когда мы нашли один корень, мы можем выполнить деление многочлена 2x^3 - x^2 - 18x + 9 на (x - 3) с помощью деления многочленов.

Делим 2x^3 - x^2 - 18x + 9 на (x - 3). После деления мы получим:

2x^2 + 5x - 3.

Шаг 4: Решение квадратного уравнения

Теперь нам нужно решить квадратное уравнение 2x^2 + 5x - 3 = 0. Для этого воспользуемся формулой дискриминанта:

• Дискриминант D = b^2 - 4ac = (5)^2 - 4(2)(-3) = 25 + 24 = 49.

Так как D > 0, у уравнения два различных корня. Находим корни по формуле:

• x1 = (-b + sqrt(D)) / (2a) = (-5 + 7) / 4 = 1/2.
• x2 = (-b - sqrt(D)) / (2a) = (-5 - 7) / 4 = -3.

Шаг 5: Запись всех корней

Таким образом, у нашего уравнения 2x^3 - x^2 - 18x + 9 = 0 есть три корня:

• x1 = 3,
• x2 = 1/2,
• x3 = -3.

Ответ: корни уравнения 2x^3 - x^2 - 18x + 9 = 0: x = 3, x = 1/2, x = -3.