Как решить уравнение -4y^3 + 4y^2 + 11y - 6 = 0 без применения формулы Кардано?

Математика 8 класс Уравнения третьей степени решение уравнения уравнение третьей степени математика 8 класс методы решения уравнений уравнения без Кардано Новый

Чтобы решить уравнение -4y^3 + 4y^2 + 11y - 6 = 0 без применения формулы Кардано, мы можем воспользоваться методом подбора корней и делением многочленов. Давайте разберем этот процесс шаг за шагом.

Шаг 1: Поиск рациональных корней

Сначала мы попробуем найти рациональные корни уравнения. Для этого воспользуемся теоремой о рациональных корнях, которая гласит, что возможные рациональные корни уравнения имеют вид ±p/q, где p - делители свободного члена, а q - делители ведущего коэффициента.

• Свободный член: -6. Его делители: ±1, ±2, ±3, ±6.
• Ведущий коэффициент: -4. Его делители: ±1, ±2, ±4.

Таким образом, возможные рациональные корни: ±1, ±2, ±3, ±6, ±1/2, ±3/2, ±1/4, ±3/4.

Шаг 2: Подбор корней

Теперь попробуем подставить возможные корни в уравнение и проверить, равняется ли оно нулю. Начнем с простых значений:

• y = 1: -4(1)^3 + 4(1)^2 + 11(1) - 6 = -4 + 4 + 11 - 6 = 5 (не корень)
• y = -1: -4(-1)^3 + 4(-1)^2 + 11(-1) - 6 = 4 + 4 - 11 - 6 = -9 (не корень)
• y = 2: -4(2)^3 + 4(2)^2 + 11(2) - 6 = -32 + 16 + 22 - 6 = 0 (корень)

Мы нашли корень: y = 2.

Шаг 3: Деление многочлена

Теперь мы можем разделить исходный многочлен на (y - 2) с помощью деления многочленов. Запишем многочлен в виде:

-4y^3 + 4y^2 + 11y - 6 = (y - 2)(-4y^2 + (-4 + 8)y + 11 - 12).

После деления мы получим:

-4y^3 + 4y^2 + 11y - 6 = (y - 2)(-4y^2 + 4y + 1).

Шаг 4: Решение квадратного уравнения

Теперь нам нужно решить квадратное уравнение -4y^2 + 4y + 1 = 0. Для этого можем использовать дискриминант:

D = b^2 - 4ac = (4)^2 - 4*(-4)*(1) = 16 + 16 = 32.

Корни квадратного уравнения находятся по формуле:

y = (-b ± √D) / (2a).

Подставим значения:

y = (-4 ± √32) / (2*(-4)) = (-4 ± 4√2) / -8 = (4 ± 4√2) / 8 = 1/2 ± √2/2.

Шаг 5: Итоговые корни

Таким образом, у нас есть три корня уравнения:

• y = 2,
• y = 1/2 + √2/2,
• y = 1/2 - √2/2.

Это и есть все корни уравнения -4y^3 + 4y^2 + 11y - 6 = 0.