Чтобы решить уравнение x^3 - 2x^2 - 9x + 18 = 0, мы будем следовать нескольким шагам. Это кубическое уравнение, и мы постараемся найти его корни. Давайте разберем процесс поэтапно.

Сначала попробуем найти рациональные корни уравнения с помощью теоремы о рациональных корнях. Эта теорема говорит о том, что возможные рациональные корни уравнения имеют вид p/q, где p - делители свободного члена (в нашем случае 18),а q - делители старшего коэффициента (в нашем случае 1).

• Делители 18: ±1, ±2, ±3, ±6, ±9, ±18
• Делители 1: ±1

Таким образом, возможные рациональные корни: ±1, ±2, ±3, ±6, ±9, ±18.

Теперь мы будем подставлять эти значения в уравнение и проверять, равняется ли результат нулю.

• Для x = 1: 1^3 - 2*1^2 - 9*1 + 18 = 1 - 2 - 9 + 18 = 8 (не корень)
• Для x = -1: (-1)^3 - 2*(-1)^2 - 9*(-1) + 18 = -1 - 2 + 9 + 18 = 24 (не корень)
• Для x = 2: 2^3 - 2*2^2 - 9*2 + 18 = 8 - 8 - 18 + 18 = 0 (корень)

Таким образом, x = 2 является корнем уравнения.

Теперь, когда мы нашли один корень (x = 2),мы можем разделить наш многочлен на (x - 2). Используем деление многочленов.

Делим x^3 - 2x^2 - 9x + 18 на (x - 2):

1. Первый делим: x^3 / x = x^2.
2. Умножаем: x^2 * (x - 2) = x^3 - 2x^2.
3. Вычитаем: (x^3 - 2x^2 - 9x + 18) - (x^3 - 2x^2) = -9x + 18.
4. Теперь делим: -9x / x = -9.
5. Умножаем: -9 * (x - 2) = -9x + 18.
6. Вычитаем: (-9x + 18) - (-9x + 18) = 0.

Таким образом, мы получили: x^3 - 2x^2 - 9x + 18 = (x - 2)(x^2 - 9).

Теперь нам нужно решить уравнение x^2 - 9 = 0. Это простое квадратное уравнение, которое можно решить с помощью разности квадратов:

• x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3) = 0.

Следовательно, у нас есть два корня: x = 3 и x = -3.

Итак, мы нашли все корни исходного уравнения:

• x = 2
• x = 3
• x = -3

В заключение, все корни уравнения x^3 - 2x^2 - 9x + 18 = 0: x = 2, x = 3 и x = -3.