Какова длина катетов прямоугольного треугольника ABC, если в нем проведена прямая, касающаяся гипотенузы в точке D, делящая ее на отрезки длиной 5 см и 12 см, а радиус проведенной линии равен 3 см?

Математика 8 класс Треугольники длина катетов прямоугольный треугольник касательная к гипотенузе отрезки длиной 5 см и 12 см радиус линии 3 см Новый

Для решения этой задачи мы будем использовать свойства прямоугольного треугольника и теорему Пифагора.

У нас есть прямоугольный треугольник ABC, где гипотенуза AC разделена точкой D на два отрезка: AD = 5 см и DC = 12 см. Сначала найдем длину гипотенузы AC:

• Длина гипотенузы AC = AD + DC = 5 см + 12 см = 17 см.

Теперь, чтобы найти длины катетов AB и BC, воспользуемся свойством касательной к окружности, проведенной из точки D. Касательная к окружности, проведенная из внешней точки, перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. В этом случае, радиус равен 3 см.

Обозначим:

• AB = a (катет),
• BC = b (катет).

Согласно свойству прямоугольного треугольника, мы можем записать:

• AD² + DB² = AB²,
• DC² + DB² = BC².

Где DB – это длина отрезка, который мы можем выразить через радиус окружности. Поскольку радиус равен 3 см, то:

• DB = 3 см.

Теперь подставим известные значения:

• AD = 5 см, значит, AD² = 5² = 25;
• DC = 12 см, значит, DC² = 12² = 144;
• DB = 3 см, значит, DB² = 3² = 9.

Теперь можем найти длины катетов:

1. Для катета AB:
• AB² = AD² + DB² = 25 + 9 = 34;
• AB = √34 ≈ 5.83 см.
2. Для катета BC:
• BC² = DC² + DB² = 144 + 9 = 153;
• BC = √153 ≈ 12.37 см.

Таким образом, длины катетов прямоугольного треугольника ABC составляют:

• AB ≈ 5.83 см,
• BC ≈ 12.37 см.