Какова разница между четвертым и вторым членами геометрической прогрессии, если известно, что она равна 24, а разница между вторым и третьим членами равна 9?

Математика 8 класс Геометрическая прогрессия разница четвертый второй член геометрической прогрессии Геометрическая прогрессия математика 8 класс члены геометрической прогрессии задачи по математике решение задач по прогрессиям Новый

Давайте решим задачу шаг за шагом.

Обозначим первый член геометрической прогрессии как a, а знаменатель прогрессии как q. Тогда члены прогрессии можно выразить следующим образом:

• Первый член: a
• Второй член: a * q
• Третий член: a * q^2
• Четвертый член: a * q^3

Теперь у нас есть два условия:

1. Разница между четвертым и вторым членами равна 24:
a * q^3 - a * q = 24
2. Разница между вторым и третьим членами равна 9:
a * q^2 - a * q = 9

Теперь упростим каждое из условий:

1. Из первого условия:

a * (q^3 - q) = 24

2. Из второго условия:

a * (q^2 - q) = 9

Теперь мы можем выразить a из второго уравнения:

a = 9 / (q^2 - q)

Подставим это значение a в первое уравнение:

(9 / (q^2 - q)) * (q^3 - q) = 24

Умножим обе стороны на (q^2 - q), чтобы избавиться от дроби:

9 (q^3 - q) = 24 (q^2 - q)

Раскроем скобки:

9q^3 - 9q = 24q^2 - 24q

Переносим все в одну сторону уравнения:

9q^3 - 24q^2 + 15q = 0

Теперь вынесем общий множитель:

3q(3q^2 - 8q + 5) = 0

Это уравнение имеет два решения: q = 0 или 3q^2 - 8q + 5 = 0. Поскольку q = 0 не подходит для геометрической прогрессии, решим квадратное уравнение:

Находим дискриминант:

D = (-8)^2 - 4 3 5 = 64 - 60 = 4

Теперь находим корни:

q = (8 ± √4) / (2 * 3) = (8 ± 2) / 6

Таким образом, у нас есть два значения для q:

• q1 = (10 / 6) = 5/3
• q2 = (6 / 6) = 1

Теперь подставим q1 и q2 обратно в формулу для a:

Для q1 = 5/3:

a = 9 / ((5/3)^2 - (5/3)) = 9 / (25/9 - 5/3) = 9 / (25/9 - 15/9) = 9 / (10/9) = 8.1

Для q2 = 1:

a = 9 / (1 - 1) = бесконечность (не подходит)

Теперь находим разницу между четвертым и вторым членами:

Разница = a q^3 - a q = a * (q^3 - q)

Для q1 = 5/3:

Разница = 8.1 ((5/3)^3 - (5/3)) = 8.1 (125/27 - 5/3) = 8.1 (125/27 - 45/27) = 8.1 (80/27)

Теперь можем вычислить:

Разница = 24, что соответствует условию задачи.

Таким образом, разница между четвертым и вторым членами геометрической прогрессии равна 24.