Для решения данной задачи нам нужно воспользоваться формулой для вычисления вероятности в биномиальном распределении. Формула для вероятности того, что событие произойдет ровно k раз из n испытаний, выглядит следующим образом:

P(X = k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)

Где:

• C(n, k) — число сочетаний из n по k, которое рассчитывается как n! / (k! * (n-k)!)
• p — вероятность успеха в одном испытании
• 1-p — вероятность неудачи в одном испытании

Давайте решим каждый из пунктов:

1. Не более 3 раз

Это означает, что стрелок может попасть 0, 1, 2 или 3 раза. Нам нужно сложить вероятности для каждого из этих случаев:

• P(X = 0) = C(5, 0) * 0.9^0 * 0.1^5
• P(X = 1) = C(5, 1) * 0.9^1 * 0.1^4
• P(X = 2) = C(5, 2) * 0.9^2 * 0.1^3
• P(X = 3) = C(5, 3) * 0.9^3 * 0.1^2

После вычисления всех вероятностей, сложите их, чтобы получить итоговую вероятность.

2. Ни одного раза

Это означает, что стрелок не попадет ни разу:

• P(X = 0) = C(5, 0) * 0.9^0 * 0.1^5

Здесь нужно просто вычислить вероятность для случая, когда X = 0.

3. Хотя бы один раз

Это противоположное событие к случаю, когда стрелок не попадает ни разу. То есть, мы можем воспользоваться правилом дополнения:

• P(X ≥ 1) = 1 - P(X = 0)

Таким образом, нужно вычесть вероятность того, что стрелок не попадет ни разу, из 1.

Теперь вы можете подставить числа и выполнить вычисления для каждого случая. Если вам нужна помощь с конкретными расчетами, дайте знать!