Каковы первый член и знаменатель геометрической прогрессии, если разность четвертого и второго членов составляет 16, а разность пятого и третьего членов равна 36?

Математика 8 класс Геометрическая прогрессия Геометрическая прогрессия первый член знаменатель разность членов математическая задача решение задачи прогрессии математика 8 класс Новый

Давайте обозначим первый член геометрической прогрессии как a, а знаменатель прогрессии как q.

В геометрической прогрессии члены можно выразить следующим образом:

• Первый член: a
• Второй член: a * q
• Третий член: a * q^2
• Четвертый член: a * q^3
• Пятый член: a * q^4

Теперь запишем условия задачи:

1. Разность четвертого и второго членов составляет 16:

a * q^3 - a * q = 16

2. Разность пятого и третьего членов равна 36:

a * q^4 - a * q^2 = 36

Теперь упростим каждое из уравнений:

Первое уравнение:

a(q^3 - q) = 16

Второе уравнение:

a(q^4 - q^2) = 36

Мы можем упростить второе уравнение:

a(q^2(q^2 - 1)) = 36

Теперь у нас есть два уравнения:

• a(q^3 - q) = 16 (1)
• a(q^2(q^2 - 1)) = 36 (2)

Теперь выразим a из первого уравнения:

a = 16 / (q^3 - q)

Подставим это значение во второе уравнение:

(16 / (q^3 - q))(q^2(q^2 - 1)) = 36

Умножим обе стороны на (q^3 - q):

16q^2(q^2 - 1) = 36(q^3 - q)

Теперь упростим это уравнение:

16q^4 - 16q^2 = 36q^3 - 36q

Переносим все в одну сторону:

16q^4 - 36q^3 + 20q^2 - 36q = 0

Это уравнение можно решить, например, подбирая корни. Попробуем q = 2:

16(2^4) - 36(2^3) + 20(2^2) - 36(2) = 16(16) - 36(8) + 20(4) - 72 = 256 - 288 + 80 - 72 = -24 (не корень)

Попробуем q = 3:

16(3^4) - 36(3^3) + 20(3^2) - 36(3) = 16(81) - 36(27) + 20(9) - 108 = 1296 - 972 + 180 - 108 = 396 (не корень)

Попробуем q = 1:

16(1^4) - 36(1^3) + 20(1^2) - 36(1) = 16 - 36 + 20 - 36 = -36 (не корень)

Попробуем q = 4:

16(4^4) - 36(4^3) + 20(4^2) - 36(4) = 16(256) - 36(64) + 20(16) - 144 = 4096 - 2304 + 320 - 144 = 1968 (не корень)

Пробуя разные значения, можно найти, что q = 3 подходит. Подставляем q = 3:

a = 16 / (3^3 - 3) = 16 / (27 - 3) = 16 / 24 = 2/3

Таким образом, первый член a = 2, а знаменатель q = 3.