Какой путь пролетит мяч, если он был брошен вертикально вниз с высоты 9 метров и после каждого отскока поднимается на 2/3 от предыдущей высоты, прежде чем остановится?

Математика 8 класс Геометрическая прогрессия путь мяча мяч брошен вертикально высота 9 метров отскок мяча физика движения математическое моделирование Новый

Для решения этой задачи нам нужно рассмотреть два этапа: падение мяча и его отскоки.

1. Падение мяча:

Мяч был брошен с высоты 9 метров. Он падает вниз, преодолевая эту высоту. Таким образом, первый путь, который проходит мяч, равен 9 метрам.

2. Отскоки:

После того как мяч ударяется о землю, он отскакивает и поднимается на 2/3 от высоты, с которой он упал. Давайте посчитаем высоты отскоков:

• Первый отскок: 2/3 * 9 метров = 6 метров.
• Второй отскок: 2/3 * 6 метров = 4 метра.
• Третий отскок: 2/3 * 4 метра = 8/3 метра (или примерно 2.67 метра).
• Четвертый отскок: 2/3 * 8/3 метра = 16/9 метра (или примерно 1.78 метра).
• Пятый отскок: 2/3 * 16/9 метра = 32/27 метра (или примерно 1.19 метра).
• И так далее, пока высота отскока не станет слишком маленькой.

3. Суммирование всех путей:

Теперь мы должны суммировать все пути, которые проходит мяч:

• Путь вниз: 9 метров.
• Путь вверх после первого отскока: 6 метров.
• Путь вниз после первого отскока: 6 метров.
• Путь вверх после второго отскока: 4 метра.
• Путь вниз после второго отскока: 4 метра.
• И так далее для всех отскоков.

Мы можем заметить, что высоты отскоков образуют геометрическую прогрессию, где первый элемент a = 6 метров (высота первого отскока), а отношение прогрессии r = 2/3.

4. Формула суммы бесконечной геометрической прогрессии:

Сумма S бесконечной геометрической прогрессии может быть найдена по формуле:

S = a / (1 - r),

где a - первый элемент прогрессии, r - отношение прогрессии.

Подставляем наши значения:

S = 6 / (1 - 2/3) = 6 / (1/3) = 6 * 3 = 18 метров.

5. Общий путь:

Теперь складываем все пути:

Общий путь = Путь вниз + Сумма отскоков вверх и вниз = 9 метров + 18 метров.

Таким образом, общий путь, который пролетит мяч, равен:

27 метров.