Когда завершился шахматный турнир, стало известно, что каждый участник выиграл белыми фигурами такое же количество партий, сколько все остальные участники выиграли черными. Докажите, что все участники имеют одинаковое число побед.

Математика 8 класс Комбинаторика математика 8 класс шахматный турнир количество побед участники турнира выигранные партии доказательство равенства побед Новый

Давайте рассмотрим данное условие и проанализируем его шаг за шагом.

Обозначим количество участников турнира как n. Пусть каждый участник турнира имеет определенное количество побед белыми фигурами, которое мы обозначим как W_i для i-го участника. Кроме того, пусть количество побед черными фигурами для i-го участника обозначается как B_i.

Согласно условию задачи, для каждого участника выполняется следующее равенство:

1. W_i = S - B_i,

где S - это общее количество побед черными фигурами всеми участниками турнира. Таким образом, мы можем выразить S через W_i:

1. Суммируем все W_i: S = W_1 + W_2 + ... + W_n.
2. Суммируем все B_i: S = B_1 + B_2 + ... + B_n.

Теперь, если мы подставим B_i из первого уравнения во второе, то получим:

1. W_i = S - B_i,
2. W_i = S - (S - W_i) = W_i.

Теперь мы видим, что для каждого участника W_i = W_j для любых i и j. Это означает, что все участники имеют одинаковое количество побед белыми фигурами.

Так как количество побед белыми и черными взаимосвязано, и для каждого участника выполняется это равенство, мы можем утверждать, что:

1. W_1 = W_2 = ... = W_n,
2. B_1 = B_2 = ... = B_n.

Таким образом, мы доказали, что все участники турнира имеют одинаковое количество побед. Это и было требуемо доказать.