Натуральные числа m и n, при этом m не равно n, имеют такое свойство, что число 2013m заканчивается на ту же цифру, что и 2013n. Какое наименьшее значение может принимать сумма m + n?

Математика 8 класс Делимость и остатки математика 8 класс натуральные числа сумма m и n число 2013 окончание числа свойства чисел задачи на числа Новый

Чтобы решить задачу, начнем с анализа условия. Нам нужно, чтобы числа 2013m и 2013n заканчивались на одну и ту же цифру. Это означает, что последние цифры этих чисел должны совпадать.

Для этого нам нужно определить, какова последняя цифра произведения 2013 и натурального числа. Последняя цифра числа 2013 равна 3. Поэтому последняя цифра произведения 2013m будет равна последней цифре числа 3, умноженного на последнюю цифру m.

Таким образом, мы можем записать:

• последняя цифра 2013m = последняя цифра (3 * последняя цифра m)
• последняя цифра 2013n = последняя цифра (3 * последняя цифра n)

Теперь нам нужно, чтобы:

• последняя цифра (3 * последняя цифра m) = последняя цифра (3 * последняя цифра n)

Обозначим последнюю цифру m как a, а последнюю цифру n как b. Тогда нам нужно решить уравнение:

• последняя цифра (3a) = последняя цифра (3b)

Теперь найдем, какие значения a и b могут давать одинаковую последнюю цифру при умножении на 3. Рассмотрим все возможные последние цифры от 0 до 9:

• Если a = 0, то 3a = 0
• Если a = 1, то 3a = 3
• Если a = 2, то 3a = 6
• Если a = 3, то 3a = 9
• Если a = 4, то 3a = 2
• Если a = 5, то 3a = 5
• Если a = 6, то 3a = 8
• Если a = 7, то 3a = 1
• Если a = 8, то 3a = 4
• Если a = 9, то 3a = 7

Теперь найдем пары (a, b), которые дают одинаковые последние цифры:

• (0, 0)
• (1, 7)
• (2, 4)
• (3, 9)
• (4, 2)
• (5, 5)
• (6, 8)
• (7, 1)
• (8, 6)
• (9, 3)

Теперь, чтобы найти наименьшее значение суммы m + n, мы можем попробовать различные пары a и b, которые не равны друг другу, и найти соответствующие минимальные значения m и n.

Рассмотрим несколько пар:

• Если a = 1 и b = 7, тогда m = 1 и n = 7, сумма m + n = 8.
• Если a = 2 и b = 4, тогда m = 2 и n = 4, сумма m + n = 6.
• Если a = 3 и b = 9, тогда m = 3 и n = 9, сумма m + n = 12.
• Если a = 4 и b = 2, тогда m = 4 и n = 2, сумма m + n = 6.
• Если a = 5 и b = 5, то это не подходит, так как m не равно n.
• Если a = 6 и b = 8, тогда m = 6 и n = 8, сумма m + n = 14.
• Если a = 7 и b = 1, тогда m = 7 и n = 1, сумма m + n = 8.
• Если a = 8 и b = 6, тогда m = 8 и n = 6, сумма m + n = 14.
• Если a = 9 и b = 3, тогда m = 9 и n = 3, сумма m + n = 12.

Из всех найденных сумм наименьшее значение равно 6, которое можно получить при парах (2, 4) или (4, 2).

Ответ: Наименьшее значение суммы m + n равно 6.