Сколько прямоугольных треугольников с целыми длинами сторон можно составить, если один из катетов равен 15?

Математика 8 класс Треугольники Прямоугольные треугольники целые длины сторон катет равен 15 задачи по математике геометрия треугольники с катетами Новый

Чтобы найти количество прямоугольных треугольников с целыми длинами сторон, где один из катетов равен 15, мы будем использовать теорему Пифагора. Эта теорема утверждает, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Обозначим катеты как a и b, а гипотенузу как c. Предположим, что катет a равен 15, тогда у нас есть:

15² + b² = c²

Теперь мы можем выразить b² через c:

b² = c² - 15²

Это упростится до:

b² = c² - 225

Таким образом, b будет целым числом, если c² - 225 является полным квадратом. Это значит, что c должно быть больше 15, так как гипотенуза всегда больше любого из катетов.

Теперь давайте найдем возможные значения c:

• c = 16: b² = 16² - 225 = 256 - 225 = 31 (не является полным квадратом)
• c = 17: b² = 17² - 225 = 289 - 225 = 64 (является полным квадратом, b = 8)
• c = 18: b² = 18² - 225 = 324 - 225 = 99 (не является полным квадратом)
• c = 19: b² = 19² - 225 = 361 - 225 = 136 (не является полным квадратом)
• c = 20: b² = 20² - 225 = 400 - 225 = 175 (не является полным квадратом)
• c = 21: b² = 21² - 225 = 441 - 225 = 216 (не является полным квадратом)
• c = 22: b² = 22² - 225 = 484 - 225 = 259 (не является полным квадратом)
• c = 23: b² = 23² - 225 = 529 - 225 = 304 (не является полным квадратом)
• c = 24: b² = 24² - 225 = 576 - 225 = 351 (не является полным квадратом)
• c = 25: b² = 25² - 225 = 625 - 225 = 400 (является полным квадратом, b = 20)
• c = 26: b² = 26² - 225 = 676 - 225 = 451 (не является полным квадратом)
• c = 27: b² = 27² - 225 = 729 - 225 = 504 (не является полным квадратом)
• c = 28: b² = 28² - 225 = 784 - 225 = 559 (не является полным квадратом)
• c = 29: b² = 29² - 225 = 841 - 225 = 616 (не является полным квадратом)
• c = 30: b² = 30² - 225 = 900 - 225 = 675 (не является полным квадратом)
• c = 31: b² = 31² - 225 = 961 - 225 = 736 (не является полным квадратом)
• c = 32: b² = 32² - 225 = 1024 - 225 = 799 (не является полным квадратом)
• c = 33: b² = 33² - 225 = 1089 - 225 = 864 (не является полным квадратом)
• c = 34: b² = 34² - 225 = 1156 - 225 = 931 (не является полным квадратом)
• c = 35: b² = 35² - 225 = 1225 - 225 = 1000 (является полным квадратом, b = 31)

Мы видим, что для значений c = 17, c = 25 и c = 35 мы получили целые значения b. Это означает, что мы можем составить три прямоугольных треугольника:

• Треугольник с катетами 15 и 8, гипотенуза 17.
• Треугольник с катетами 15 и 20, гипотенуза 25.
• Треугольник с катетами 15 и 31, гипотенуза 35.

Таким образом, существует 3 прямоугольных треугольника с целыми длинами сторон, где один из катетов равен 15.