СРОЧНО! В арифметической прогрессии 16 членов, сумма которых равна 512. Как найти отношение суммы последних пяти членов этой прогрессии к сумме её первых пяти членов, если оно равно 5,4? И как вычислить десятый член данной прогрессии?

Математика 8 класс Арифметическая прогрессия арифметическая прогрессия сумма членов отношение сумм десятый член математические задачи 8 класс Новый

Давайте разберемся с задачей по шагам.

Мы знаем, что в арифметической прогрессии сумма n членов рассчитывается по формуле:

S_n = (n/2) * (a_1 + a_n),

где S_n - сумма n членов, a_1 - первый член, a_n - n-ый член прогрессии.

В данном случае у нас 16 членов, и их сумма равна 512, значит:

S_16 = 512.

Подставим значения в формулу:

512 = (16/2) * (a_1 + a_16).

Упрощаем:

512 = 8 * (a_1 + a_16).

Теперь разделим обе стороны на 8:

a_1 + a_16 = 64.

Теперь давайте найдем сумму первых пяти и последних пяти членов прогрессии.

Сумма первых пяти членов:

S_5 = (5/2) * (a_1 + a_5).

Сумма последних пяти членов:

S_5' = (5/2) * (a_12 + a_16).

Теперь нам нужно выразить a_5 и a_12 через a_1 и d (разность прогрессии):

• a_5 = a_1 + 4d,
• a_12 = a_1 + 11d.

Подставим эти значения в формулы для сумм:

S_5 = (5/2) * (a_1 + (a_1 + 4d)) = (5/2) * (2a_1 + 4d) = 5(a_1 + 2d).

S_5' = (5/2) * ((a_1 + 11d) + a_1 + 16d) = (5/2) * (2a_1 + 27d) = 5(a_1 + 13.5d).

Теперь у нас есть:

S_5 = 5(a_1 + 2d)

S_5' = 5(a_1 + 13.5d)

Теперь найдем отношение суммы последних пяти членов к сумме первых пяти:

k = S_5' / S_5 = (a_1 + 13.5d) / (a_1 + 2d).

Согласно условию задачи, это отношение равно 5.4:

(a_1 + 13.5d) / (a_1 + 2d) = 5.4.

Теперь мы можем решить это уравнение. Умножим обе стороны на (a_1 + 2d):

a_1 + 13.5d = 5.4(a_1 + 2d).

Раскроем скобки:

a_1 + 13.5d = 5.4a_1 + 10.8d.

Переносим все члены с a_1 в одну сторону, а с d в другую:

13.5d - 10.8d = 5.4a_1 - a_1.

Упрощаем:

2.7d = 4.4a_1.

Теперь выразим d через a_1:

d = (4.4 / 2.7)a_1 = (44 / 27)a_1.

Теперь подставим d в уравнение a_1 + a_16 = 64:

Так как a_16 = a_1 + 15d, имеем:

a_1 + (a_1 + 15 * (44/27)a_1) = 64.

Это можно упростить:

a_1 + a_1 + (660/27)a_1 = 64.

Соберем все a_1:

(1 + 1 + 660/27)a_1 = 64.

Переведем 2 в 27-ую дробь:

(54/27 + 54/27 + 660/27)a_1 = 64.

(768/27)a_1 = 64.

Теперь выразим a_1:

a_1 = (64 * 27) / 768 = 2.25.

Теперь, зная a_1, можем найти d:

d = (4.4 / 2.7) * 2.25 = 3.

Теперь мы можем найти 10-й член прогрессии:

a_10 = a_1 + 9d = 2.25 + 9 * 3 = 29.25.

Итак, мы нашли:

• Отношение суммы последних пяти членов к сумме первых пяти равно 5.4,
• Десятый член прогрессии равен 29.25.