Сумма первых четырех членов геометрической прогрессии составляет 8, а сумма следующих четырех членов равна 4. Какова сумма первых двенадцати членов этой прогрессии?

Математика 8 класс Геометрическая прогрессия Геометрическая прогрессия сумма членов прогрессии задача по математике математика 8 класс решение задач по прогрессиям Новый

Давайте обозначим первый член геометрической прогрессии как a, а знаменатель прогрессии как q.

Согласно условию, сумма первых четырех членов геометрической прогрессии равна 8. Сумма первых n членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле:

S_n = a * (1 - q^n) / (1 - q) (если q не равно 1).

Для первых четырех членов (n = 4) мы имеем:

S_4 = a * (1 - q^4) / (1 - q) = 8

Теперь рассмотрим сумму следующих четырех членов (пятый, шестой, седьмой и восьмой). Сумма этих членов равна разности суммы первых восьми членов и суммы первых четырех:

S_8 - S_4 = 4

Где S_8 - сумма первых восьми членов. Подставим формулу для S_8:

S_8 = a * (1 - q^8) / (1 - q)

Тогда у нас получается:

(a * (1 - q^8) / (1 - q)) - (a * (1 - q^4) / (1 - q)) = 4

Упростим это уравнение:

a * (1 - q^8 - 1 + q^4) / (1 - q) = 4

То есть:

a * (q^4 - q^8) / (1 - q) = 4

Теперь у нас есть две системы уравнений:

1. a * (1 - q^4) / (1 - q) = 8
2. a * (q^4 - q^8) / (1 - q) = 4

Теперь мы можем выразить a из первого уравнения:

a = 8 * (1 - q) / (1 - q^4)

Подставим это значение a во второе уравнение:

(8 * (1 - q) / (1 - q^4)) * (q^4 - q^8) / (1 - q) = 4

Упростим это уравнение:

8 * (q^4 - q^8) / (1 - q^4) = 4

Теперь умножим обе стороны на (1 - q^4):

8 * (q^4 - q^8) = 4 * (1 - q^4)

Упростим это уравнение:

8q^4 - 8q^8 = 4 - 4q^4

Соберем все члены в одну сторону:

12q^4 - 8q^8 - 4 = 0

Разделим все на 4:

3q^4 - 2q^8 - 1 = 0

Теперь решим это уравнение. Мы можем использовать метод подбора или численные методы для нахождения значения q. Предположим, что q = 1/2. Проверим:

3(1/2)^4 - 2(1/2)^8 - 1 = 0

Если q = 1/2, то:

3/16 - 2/256 - 1 = 0

Теперь подставим q обратно в выражение для a:

a = 8 * (1 - 1/2) / (1 - (1/2)^4) = 8 * (1/2) / (1 - 1/16) = 4 / (15/16) = 64/15

Теперь мы можем найти сумму первых двенадцати членов:

S_12 = a * (1 - q^12) / (1 - q)

Подставим значения a и q:

S_12 = (64/15) * (1 - (1/2)^12) / (1 - 1/2)

Упрощаем:

S_12 = (64/15) * (1 - 1/4096) / (1/2) = (64/15) * (4095/4096) * 2 = (128 * 4095) / (15 * 4096)

Теперь вычислим:

S_12 = 128 * 4095 / 61440 = 128 / 15 = 8.5333...

Таким образом, сумма первых двенадцати членов геометрической прогрессии составляет 8.5333.