Давайте разберем каждый из ваших вопросов по порядку.

1. Номер члена арифметической прогрессии -100; 0; 100; ..., равного 1100.

Формула n-го члена арифметической прогрессии выглядит так:

an = a1 + (n - 1) * d,

где a1 - первый член прогрессии, d - разность прогрессии, n - номер члена.

В данной прогрессии:

• a1 = -100,
• Следующий член (второй) равен 0, значит, d = 0 - (-100) = 100.

Теперь подставим известные значения в формулу для поиска n:

1100 = -100 + (n - 1) * 100.

Решим уравнение:

1. 1100 + 100 = (n - 1) * 100,
2. 1200 = (n - 1) * 100,
3. n - 1 = 12,
4. n = 13.

Таким образом, номер члена, равного 1100, равен 13.

2. Найдите разность арифметической прогрессии, если первый член равен -1,2, а пятый член равен -0,4.

Используем формулу для n-го члена:

a5 = a1 + (5 - 1) * d.

Подставим известные значения:

-0,4 = -1,2 + 4d.

Решим уравнение:

1. 4d = -0,4 + 1,2,
2. 4d = 0,8,
3. d = 0,2.

Таким образом, разность арифметической прогрессии равна 0,2.

3. Найдите первый член арифметической прогрессии a1; a2; a3; a4; a5; a6: 23; -9; -2; 5; -5; -7.

Разберем последовательность:

• a1 = 23,
• a2 = -9,
• a3 = -2,
• a4 = 5,
• a5 = -5,
• a6 = -7.

Чтобы найти разность d, можем взять два соседних члена, например, a2 и a1:

d = a2 - a1 = -9 - 23 = -32.

Первый член - 23, так что он равен 23.

4. Найдите номер члена арифметической прогрессии -3; 4; 11; ..., равного 25.

Здесь первый член a1 = -3, а второй член a2 = 4. Найдем разность:

d = a2 - a1 = 4 - (-3) = 7.

Теперь используем формулу для n-го члена:

25 = -3 + (n - 1) * 7.

Решим уравнение:

1. 25 + 3 = (n - 1) * 7,
2. 28 = (n - 1) * 7,
3. n - 1 = 4,
4. n = 5.

Таким образом, номер члена, равного 25, равен 5.

5. Мастерская выполнила в январе 44 заказа, а в каждый следующий месяц увеличивала производительность труда на 11 заказов. Найдите, сколько заказов мастерская выполнила в декабре.

В январе (первый месяц) было 44 заказа, а каждый месяц добавляется 11 заказов. В декабре (12-й месяц) число заказов будет:

a12 = a1 + (12 - 1) * d = 44 + 11 * 11 = 44 + 121 = 165.

Таким образом, в декабре мастерская выполнила 165 заказов.

6. Найдите сумму всех натуральных чисел, кратных 3 и не превосходящих 100.

Числа, кратные 3, до 100: 3, 6, 9, ..., 99. Это арифметическая прогрессия, где a1 = 3, d = 3, и последний член aN = 99.

Чтобы найти количество членов (N), используем формулу:

aN = a1 + (N - 1) * d.

99 = 3 + (N - 1) * 3.

Решим уравнение:

1. 99 - 3 = (N - 1) * 3,
2. 96 = (N - 1) * 3,
3. N - 1 = 32,
4. N = 33.

Сумма первых N членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле:

S = N/2 * (a1 + aN) = 33/2 * (3 + 99) = 33/2 * 102 = 33 * 51 = 1683.

Таким образом, сумма всех натуральных чисел, кратных 3 и не превосходящих 100, равна 1683.

7. Арифметическая прогрессия задана формулой an = 11n - 78. Найдите первый положительный член этой прогрессии.

Подставим n = 1, чтобы найти первый член:

a1 = 11 * 1 - 78 = 11 - 78 = -67 (не положительный).

Теперь подставим n = 8:

a8 = 11 * 8 - 78 = 88 - 78 = 10 (положительный).

Таким образом, первый положительный член этой прогрессии равен 10.