Чтобы найти длину катета AC в прямом треугольнике ABC, где угол A равен 45°, а гипотенуза AB составляет 4√2, мы можем воспользоваться свойствами прямоугольного треугольника и угла 45°.

Шаги решения:

1. В прямом треугольнике с углом 45° оба катета равны между собой. Это свойство следует из того, что в прямоугольном треугольнике с углами 45°, 45° и 90° катеты равны.
2. Обозначим длину катета AC как x. Тогда длина другого катета BC также будет равна x.
3. По теореме Пифагора, которая утверждает, что сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы, мы можем записать уравнение:
• AB² = AC² + BC²
4. Подставим известные значения в уравнение:
• (4√2)² = x² + x²
5. Теперь посчитаем квадрат гипотенузы:
• (4√2)² = 16 * 2 = 32
6. Теперь подставим это значение в уравнение:
• 32 = x² + x²
7. Упростим уравнение:
• 32 = 2x²
8. Теперь разделим обе стороны на 2:
• 16 = x²
9. Теперь найдём значение x, взяв квадратный корень:
• x = √16 = 4

Таким образом, длина катета AC равна 4.