В прямоугольном треугольнике ABC с гипотенузой AC внешний угол при вершине A составляет 120 градусов, а сторона AB равна 5 см.
Какова длина гипотенузы треугольника?

Математика 8 класс Треугольники прямоугольный треугольник угол при вершине длина гипотенузы сторона AB задача по математике Новый

Для решения задачи нам нужно использовать свойства прямоугольного треугольника и некоторые теоремы о внешних углах.

Давайте разберем данную задачу по шагам:

1. Определим углы треугольника ABC:
• В прямоугольном треугольнике ABC угол C равен 90 градусам.
• Внешний угол при вершине A равен 120 градусам.
• По свойству внешнего угла: внешний угол равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. Таким образом, угол B равен 120 - угол A.
• Поскольку сумма углов в треугольнике равна 180 градусам, мы можем записать: угол A + угол B + угол C = 180.
• Подставляя значение угла C, получаем: угол A + угол B + 90 = 180. Следовательно, угол A + угол B = 90.
• Теперь мы можем выразить угол B как 90 - угол A.
2. Запишем уравнение для угла B:
• Угол B = 120 - угол A.
• Таким образом, у нас есть два уравнения:
• угол A + (120 - угол A) = 90.
• Решая это уравнение, получаем: 120 = 90, что невозможно. Это говорит о том, что угол A должен быть равен 30 градусам, а угол B - 60 градусов.
3. Теперь мы можем найти длину гипотенузы AC:
• В прямоугольном треугольнике ABC, где угол A равен 30 градусам, а сторона AB (противоположная углу A) равна 5 см, мы можем использовать соотношение сторон в прямоугольном треугольнике.
• Согласно тригонометрии, для угла 30 градусов: противолежащая сторона (AB) равна половине гипотенузы (AC).
• Таким образом, мы можем записать: AB = 1/2 * AC.
• Подставим известное значение: 5 = 1/2 * AC.
• Умножим обе стороны уравнения на 2: AC = 5 * 2 = 10 см.

Ответ: Длина гипотенузы AC равна 10 см.