В данной задаче нам нужно найти длину катета BC прямоугольного треугольника ACB, где угол C равен 90°, угол CAB равен 60°, а высота CF равна 6 см.

Давайте обозначим следующие элементы треугольника:

• AC - один из катетов (противоположный углу CAB);
• BC - другой катет (прилежащий к углу CAB);
• AB - гипотенуза;
• CF - высота из вершины C на сторону AB.

Поскольку треугольник ACB прямоугольный, мы можем использовать свойства углов и высот. Угол CAB равен 60°, следовательно, угол ABC будет равен 30° (так как сумма углов в треугольнике равна 180°).

Так как CF - высота, которая делит гипотенузу AB на два отрезка, мы можем использовать тригонометрические соотношения для нахождения длины катета BC. Известно, что:

• sin(угол) = противолежащий катет / гипотенуза;
• cos(угол) = прилежащий катет / гипотенуза;

В нашем случае, так как угол CAB равен 60°, мы можем записать:

• sin(60°) = AC / AB;
• cos(60°) = BC / AB.

Также мы знаем, что высота CF в прямоугольном треугольнике может быть выражена через катеты:

CF = (AC * BC) / AB.

Теперь, чтобы найти BC, воспользуемся тем, что CF = 6 см. Мы можем выразить AB через BC и AC, а затем подставить в формулу для CF.

Из тригонометрии:

• AC = AB * sin(60°) = AB * (√3/2);
• BC = AB * cos(60°) = AB * (1/2).

Теперь подставим AC и BC в формулу для высоты CF:

6 = (AB * (√3/2)) * (AB * (1/2)) / AB.

Сократим AB и упростим уравнение:

6 = (√3/2 * AB / 2) = (√3 * AB) / 4.

Теперь умножим обе стороны на 4:

24 = √3 * AB.

Теперь найдем длину гипотенузы AB:

AB = 24 / √3.

Теперь мы можем найти длину катета BC:

BC = AB * (1/2) = (24 / √3) * (1/2) = 12 / √3.

Теперь, чтобы получить конечный ответ, мы можем выразить BC в более удобной форме:

BC ≈ 12 / 1.732 ≈ 6.93 см.

Таким образом, длина катета BC равна примерно 6.93 см.