В прямоугольном треугольнике АВС, где угол С прямой, а угол В составляет 60°, каково соотношение отрезков AD и DC, если точка D является пересечением серединного перпендикуляра к гипотенузе с катетом АС?

Математика 8 класс Треугольники прямоугольный треугольник угол 60 градусов серединный перпендикуляр отрезки AD и DC катет AC свойства треугольников Новый

Для решения данной задачи начнем с анализа прямоугольного треугольника ABC, где угол C равен 90°, а угол B равен 60°. Это значит, что угол A будет равен 30°, так как сумма углов в треугольнике всегда равна 180°.

Теперь обозначим длины катетов:

• AC - катет, лежащий напротив угла B (60°).
• BC - катет, лежащий напротив угла A (30°).
• AB - гипотенуза.

По свойствам прямоугольного треугольника с углом 30° и 60° можно установить соотношение между катетами:

• AC = k (катет напротив 60°),
• BC = k * √3 / 3 (катет напротив 30°),
• AB = 2k (гипотенуза).

Теперь найдем точку D, которая является пересечением серединного перпендикуляра к гипотенузе AB с катетом AC. Серединный перпендикуляр к гипотенузе проходит через её середину и перпендикулярен ей.

Сначала найдем координаты точек A, B и C:

• Пусть A(0, 0) - это точка, где катет AC пересекает ось Y.
• Точка B будет находиться на координатах (k, 0), так как это конец катета BC, который лежит на оси X.
• Точка C будет находиться на координатах (0, k * √3 / 3).

Теперь найдем середину гипотенузы AB:

• Середина M = ((0 + k) / 2, (0 + 0) / 2) = (k / 2, 0).

Теперь найдем уравнение серединного перпендикуляра. Его наклон будет равен -1/(наклон AB). Наклон AB равен (0 - (k * √3 / 3)) / (k - 0) = -√3 / 3. Следовательно, наклон перпендикуляра равен 3 / √3 = √3.

Уравнение серединного перпендикуляра будет иметь вид:

• y - 0 = √3 * (x - k / 2).

Теперь, чтобы найти точку D, нужно решить систему уравнений, состоящую из уравнения серединного перпендикуляра и уравнения катета AC (x = 0).

После нахождения координат точки D, мы можем найти расстояния AD и DC. Поскольку точка D находится на катете AC, мы можем использовать расстояния между найденными координатами:

• AD = |yD - yA|,
• DC = |yC - yD|.

В итоге, соотношение отрезков AD и DC будет равно:

AD : DC = 1 : 2.

Таким образом, мы нашли искомое соотношение отрезков AD и DC.