В прямоугольном треугольнике один из катетов меньше гипотенузы на 1 см, а другой катет меньше гипотенузы на 8 см. Как можно найти длину гипотенузы?

Математика 8 класс Треугольники прямоугольный треугольник катеты гипотенуза длина гипотенузы задача по математике решение задачи свойства треугольников геометрия Пифагоровы теоремы Новый

Для решения этой задачи давайте обозначим длину гипотенузы как c, первый катет как a, а второй катет как b.

Согласно условию задачи, мы можем записать следующие уравнения:

• Первый катет меньше гипотенузы на 1 см: a = c - 1
• Второй катет меньше гипотенузы на 8 см: b = c - 8

Теперь, используя теорему Пифагора, мы знаем, что в прямоугольном треугольнике выполняется следующее равенство:

a² + b² = c²

Теперь подставим выражения для a и b в это уравнение:

• (c - 1)² + (c - 8)² = c²

Теперь раскроем скобки:

• (c - 1)² = c² - 2c + 1
• (c - 8)² = c² - 16c + 64

Теперь подставим эти выражения обратно в уравнение:

c² - 2c + 1 + c² - 16c + 64 = c²

Сложим все подобные члены:

2c² - 18c + 65 = c²

Переносим c² в левую часть уравнения:

c² - 18c + 65 = 0

Теперь у нас есть квадратное уравнение, которое можно решить. Для этого воспользуемся формулой корней квадратного уравнения:

c = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

В нашем случае:

• a = 1
• b = -18
• c = 65

Сначала найдем дискриминант:

D = (-18)² - 4 1 65 = 324 - 260 = 64

Теперь подставим значения в формулу:

c = (18 ± √64) / 2

Так как √64 = 8, у нас есть два возможных значения:

• c₁ = (18 + 8) / 2 = 26 / 2 = 13
• c₂ = (18 - 8) / 2 = 10 / 2 = 5

Но так как гипотенуза должна быть больше, чем катеты, мы оставляем только c = 13 см.

Таким образом, длина гипотенузы равна 13 см.