В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC угол B равен 120°. Высота, проведённая из вершины A, равна 9. Как найти длину стороны AC?

Математика 8 класс Равнобедренные треугольники равнобедренный треугольник угол B основание AC высота длина стороны задача по математике 8 класс геометрия решение задачи треугольники свойства треугольников Новый

Чтобы найти длину стороны AC в равнобедренном треугольнике ABC, где угол B равен 120°, а высота из вершины A равна 9, мы можем следовать следующим шагам:

1. Определим высоту и основание: Высота, проведённая из вершины A, делит основание AC пополам. Обозначим точку D как основание высоты, то есть AD - это высота, а CD = DA = x (где x - половина длины основания AC).
2. Используем треугольник ABD: В треугольнике ABD угол B равен 120°. Таким образом, угол ABD будет равен 60° (так как сумма углов в треугольнике равна 180°). Теперь мы можем использовать тригонометрические функции для нахождения длины стороны AB.
3. Применяем тригонометрию: В треугольнике ABD мы можем воспользоваться синусом угла ABD:
   • Синус 60° равен корень из 3 делённое на 2.
   • Синус 60° = AD / AB, то есть 9 / AB = корень из 3 / 2.
4. Решим уравнение для AB:
   • 9 / AB = корень из 3 / 2.
   • AB = 9 * 2 / корень из 3.
   • AB = 18 / корень из 3.
   • Умножим числитель и знаменатель на корень из 3: AB = 18 * корень из 3 / 3 = 6 * корень из 3.
5. Теперь находим длину AC: Поскольку AC = 2 * AD, мы можем выразить его через x:
   • AC = 2 * x.
   • Для нахождения x используем косинус угла ABD: косинус 60° = CD / AB.
   • Косинус 60° = 1/2, значит: 1/2 = x / (6 * корень из 3).
   • Отсюда x = 6 * корень из 3 / 2.
6. Теперь найдем длину AC:
   • AC = 2 * x = 2 * (6 * корень из 3 / 2) = 6 * корень из 3.

Таким образом, длина стороны AC равна 6 * корень из 3.