1) В треугольнике ABC угол C равен 90°, а соотношение углов A и B составляет 4:5. Найдите: а) углы A и B; б) внешний угол при вершине A.

2) Докажите, что в равнобедренном треугольнике высоты, проведенные к боковым сторонам, равны.

3) Постройте треугольник, зная одну сторону и два прилежащих угла.

Дополнительно: В прямоугольном треугольнике один из углов равен 60°, а сумма гипотенузы и меньшего катета составляет 42 см. Найдите гипотенузу.

Математика 9 класс Геометрия треугольников углы треугольника соотношение углов внешний угол равнобедренный треугольник высоты треугольника построение треугольника сторона и углы прямоугольный треугольник гипотенуза катеты треугольника Новый

1) В треугольнике ABC угол C равен 90°, а соотношение углов A и B составляет 4:5. Найдите:

а) углы A и B:

• Поскольку угол C равен 90°, то сумма углов A и B равна 90°: A + B = 90°.
• Обозначим угол A как 4x и угол B как 5x (в соответствии с заданным соотношением).
• Тогда у нас получится уравнение: 4x + 5x = 90°.
• Сложив, получаем: 9x = 90°.
• Разделив обе стороны на 9, получаем x = 10°.
• Теперь можем найти углы A и B:
• A = 4x = 4 * 10° = 40°.
• B = 5x = 5 * 10° = 50°.

Ответ: Угол A = 40°, угол B = 50°.

б) внешний угол при вершине A:

• Внешний угол при вершине A равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним, то есть углов B и C.
• Угол C равен 90°, а угол B равен 50°.
• Следовательно, внешний угол A = B + C = 50° + 90° = 140°.

Ответ: Внешний угол при вершине A = 140°.

2) Докажите, что в равнобедренном треугольнике высоты, проведенные к боковым сторонам, равны.

• Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC, где AB = AC.
• Проведем высоты AD и BE из вершин A и B на стороны AC и AB соответственно.
• Поскольку треугольник равнобедренный, то углы ABC и ACB равны.
• Треугольники ABD и ABE являются прямоугольными.
• Угол ABD = угол ABE (по свойству равнобедренного треугольника), а также угол ADB = угол AEB (по свойству высоты).
• Таким образом, треугольники ABD и ABE равны по двум углам и одной стороне (AB = AC).
• Следовательно, высоты AD и BE равны.

Ответ: Высоты в равнобедренном треугольнике, проведенные к боковым сторонам, равны.

3) Постройте треугольник, зная одну сторону и два прилежащих угла.

• Для построения треугольника, зная одну сторону и два прилежащих угла, выполните следующие шаги:
• Обозначим известную сторону как AB.
• Сначала проведите отрезок AB нужной длины.
• С помощью угломера или транспортировочного инструмента постройте угол A равный первому известному углу.
• Затем, от точки A проведите луч AC.
• Теперь постройте угол B равный второму известному углу.
• От точки B проведите луч BD.
• Точка C, где пересекутся лучи AC и BD, будет третьей вершиной треугольника ABC.

Дополнительно:

В прямоугольном треугольнике один из углов равен 60°, а сумма гипотенузы и меньшего катета составляет 42 см. Найдите гипотенузу.

• Обозначим гипотенузу как c, меньший катет как a.
• Согласно условию, c + a = 42 см.
• Используя соотношения в прямоугольном треугольнике, мы можем записать a = c * sin(60°).
• Зная, что sin(60°) = √3/2, подставим это значение в уравнение: a = c * √3/2.
• Теперь подставим a в первое уравнение: c + c * √3/2 = 42.
• Выразим c: c(1 + √3/2) = 42.
• c = 42 / (1 + √3/2).
• Решив это уравнение, получим значение гипотенузы c.

Ответ: Гипотенуза равна 42 / (1 + √3/2) см.