К окружности, вписанной в треугольник ABC, проведены три касательные. Периметры отсечённых треугольников равны 11, 20, 20. Какой периметр у треугольника ABC?

Математика 9 класс Геометрия треугольников периметр треугольника ABC окружность в треугольнике касательные к окружности треугольники с периметром задача по математике Новый

Для решения данной задачи необходимо воспользоваться свойствами касательных к окружности и периметрами отсечённых треугольников.

Обозначим треугольники, образованные касательными к окружности, как:

• T1 - треугольник, периметр которого равен 11;
• T2 - треугольник, периметр которого равен 20;
• T3 - треугольник, периметр которого также равен 20.

Согласно теореме о касательных, проведённых из одной точки к окружности, длины касательных, проведённых из одной вершины треугольника к вписанной окружности, равны. Обозначим:

• a - длина касательной из вершины A;
• b - длина касательной из вершины B;
• c - длина касательной из вершины C.

Тогда для треугольников T1, T2 и T3 можно записать:

• Периметр T1 = a + b = 11;
• Периметр T2 = b + c = 20;
• Периметр T3 = c + a = 20.

Теперь у нас есть система уравнений:

1. a + b = 11
2. b + c = 20
3. c + a = 20

Решим эту систему уравнений. Из первого уравнения выразим a:

a = 11 - b

Подставим это значение в третье уравнение:

c + (11 - b) = 20

c = 20 - 11 + b

c = 9 + b

Теперь подставим значение c в второе уравнение:

b + (9 + b) = 20

2b + 9 = 20

2b = 20 - 9

2b = 11

b = 5.5

Теперь найдем a и c:

a = 11 - b = 11 - 5.5 = 5.5

c = 9 + b = 9 + 5.5 = 14.5

Теперь мы знаем длины касательных:

• a = 5.5;
• b = 5.5;
• c = 14.5.

Периметр треугольника ABC определяется как сумма всех трёх сторон, которые равны сумме касательных:

Периметр ABC = a + b + c = 5.5 + 5.5 + 14.5 = 25.5.

Таким образом, периметр треугольника ABC равен 25.5.