Как можно доказать, что последовательность xk, заданная условием x1 = 1 и xn + 1 = n sin xn + 1, является непериодичной?

Математика 9 класс Последовательности и ряды доказательство непериодичности последовательность xk математика 9 класс условия последовательности свойства синуса анализ последовательностей Новый

Чтобы доказать, что последовательность xk, заданная условиями x1 = 1 и xn + 1 = n sin xn + 1, является непериодичной, мы можем использовать метод математического анализа и свойства функции синуса.

Рассмотрим шаги, которые помогут нам в этом доказательстве:

1. Определение периодичности: Последовательность называется периодичной, если существует такое натуральное число T, что для всех n выполняется равенство xn = x(n + T). То есть, значения последовательности повторяются с некоторым фиксированным шагом.
2. Анализ формулы: Обратим внимание на формулу рекурсии xn + 1 = n sin xn + 1. Здесь sin xn принимает значения в пределах от -1 до 1, что означает, что n sin xn может принимать значения от -n до n.
3. Исследование поведения последовательности: Начнем с первого элемента: x1 = 1. Подставим его в формулу:
   • x2 = 1 * sin(1) + 1 (значение sin(1) положительно, следовательно, x2 > 1).
   • x3 = 2 * sin(x2) + 1. Поскольку x2 > 1, sin(x2) также будет положительным, следовательно, x3 > x2.
4. Показать, что последовательность не может замкнуться: Если бы последовательность была периодичной, то значения xn должны были бы повторяться через фиксированные промежутки. Однако, как видно из предыдущих шагов, каждое новое значение xn зависит от предыдущего xn-1 и всегда увеличивается, так как n sin xn будет положительным для n > 0.
5. Заключение: Поскольку значения xn постоянно увеличиваются и не могут повторяться, это означает, что последовательность xk является непериодичной.

Таким образом, мы пришли к выводу, что последовательность, заданная условиями x1 = 1 и xn + 1 = n sin xn + 1, непериодична, так как её значения не повторяются и постоянно возрастают.