Какова сумма первых 100 членов последовательности, где a₁=1, а каждый следующий элемент с номером n>1 получается из элемента с номером n-1, пропуская n-1 натуральных чисел, следующих за ним, и выписывая следующее натуральное число?

Математика 9 класс Последовательности и ряды сумма первых 100 членов последовательность натуральные числа математика 9 класс формула суммы последовательности Новый

Давайте разберем последовательность, которую мы хотим изучить. У нас есть первый член последовательности a₁ = 1. Каждый следующий элемент aₙ (где n > 1) получается из предыдущего элемента aₙ₋₁, пропуская n-1 натуральных чисел, которые следуют за ним.

Чтобы понять, как формируется последовательность, давайте выпишем первые несколько членов:

• a₁ = 1
• a₂ = a₁ + (1) = 1 + 1 = 2
• a₃ = a₂ + (2) = 2 + 2 = 4
• a₄ = a₃ + (3) = 4 + 3 = 7
• a₅ = a₄ + (4) = 7 + 4 = 11
• a₆ = a₅ + (5) = 11 + 5 = 16
• a₇ = a₆ + (6) = 16 + 6 = 22
• a₈ = a₇ + (7) = 22 + 7 = 29
• a₉ = a₈ + (8) = 29 + 8 = 37
• a₁₀ = a₉ + (9) = 37 + 9 = 46

Теперь давайте запишем несколько первых членов последовательности:

• a₁ = 1
• a₂ = 2
• a₃ = 4
• a₄ = 7
• a₅ = 11
• a₆ = 16
• a₇ = 22
• a₈ = 29
• a₉ = 37
• a₁₀ = 46

Теперь мы видим, что последовательность выглядит так: 1, 2, 4, 7, 11, 16, 22, 29, 37, 46...

Чтобы найти сумму первых 100 членов этой последовательности, давайте сначала заметим, что каждый следующий член можно выразить через предыдущий, и это создает определенную закономерность. В частности, разница между членами последовательности растет на 1 с каждым шагом:

• a₂ - a₁ = 1
• a₃ - a₂ = 2
• a₄ - a₃ = 3
• a₅ - a₄ = 4
• a₆ - a₅ = 5
• a₇ - a₆ = 6
• a₈ - a₇ = 7
• a₉ - a₈ = 8
• a₁₀ - a₉ = 9

Таким образом, разности между членами последовательности образуют арифметическую прогрессию, где первый член равен 1, а разность равна 1. Теперь мы можем использовать формулу для суммы арифметической прогрессии.

Сумма первых n членов арифметической прогрессии может быть найдена по формуле:

Sₙ = n/2 * (a₁ + aₙ),

где Sₙ - сумма первых n членов, a₁ - первый член, aₙ - n-й член.

Теперь нам нужно найти a₁₀₀. Мы можем продолжить вычислять члены последовательности, пока не дойдем до a₁₀₀, или заметить, что aₙ = aₙ₋₁ + (n-1).

При этом мы можем вычислить a₁₀₀, используя предыдущие члены:

Известно, что a₁ = 1, a₂ = 2, a₃ = 4, ..., a₁₀₀ = a₁₀₉ + 99.

Общая формула для n-го члена последовательности будет:

aₙ = (n(n - 1))/2 + 1.

Теперь, чтобы найти сумму первых 100 членов, нам нужно подставить n = 100:

a₁₀₀ = (100 * 99) / 2 + 1 = 4950 + 1 = 4951.

Теперь можем найти сумму:

S₁₀₀ = 100 / 2 * (1 + 4951) = 50 * 4952 = 247600.

Таким образом, сумма первых 100 членов последовательности равна 247600.