Как можно решить уравнение 2cos² X + 7sin X - 5 = 0?

Математика 9 класс Тригонометрические уравнения решение уравнения тригонометрические функции cos и sin уравнение с cos уравнение с sin математика 9 класс задачи по математике алгебра Тригонометрия уравнения 9 класс Новый

Чтобы решить уравнение 2cos² X + 7sin X - 5 = 0, начнем с того, что мы можем воспользоваться тригонометрической идентичностью, которая связывает синус и косинус:

Шаг 1: Замена переменных

Мы знаем, что cos² X = 1 - sin² X. Подставим это в уравнение:

2(1 - sin² X) + 7sin X - 5 = 0.

Шаг 2: Раскроем скобки

Теперь раскроем скобки:

• 2 - 2sin² X + 7sin X - 5 = 0.

Шаг 3: Упрощение уравнения

Упростим уравнение:

• -2sin² X + 7sin X - 3 = 0.

Умножим все уравнение на -1, чтобы избавиться от отрицательного коэффициента при sin² X:

• 2sin² X - 7sin X + 3 = 0.

Шаг 4: Решение квадратного уравнения

Теперь у нас есть квадратное уравнение вида:

2y² - 7y + 3 = 0,

где y = sin X. Мы можем использовать формулу для решения квадратного уравнения:

y = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a,

где a = 2, b = -7, c = 3.

Шаг 5: Вычисление дискриминанта

• Дискриминант D = b² - 4ac = (-7)² - 4 * 2 * 3 = 49 - 24 = 25.

Шаг 6: Находим корни

• Теперь подставим значения в формулу:
• y1 = (7 + √25) / (2 * 2) = (7 + 5) / 4 = 12 / 4 = 3.
• y2 = (7 - √25) / (2 * 2) = (7 - 5) / 4 = 2 / 4 = 0.5.

Шаг 7: Обратная замена

Теперь вернемся к переменной sin X:

• sin X = 3 (не подходит, так как синус не может быть больше 1);
• sin X = 0.5.

Шаг 8: Нахождение углов

Теперь найдем углы X, для которых sin X = 0.5:

• X = 30° + 360°n,
• X = 150° + 360°n,

где n - любое целое число.

Итог: Уравнение 2cos² X + 7sin X - 5 = 0 имеет решения X = 30° + 360°n и X = 150° + 360°n, где n - любое целое число.