Похожие вопросы
2025-02-08 08:56:22
Как можно решить уравнение 2cos² X + 7sin X - 5 = 0?
Математика 9 класс Тригонометрические уравнения решение уравнения тригонометрические функции cos и sin уравнение с cos уравнение с sin математика 9 класс задачи по математике алгебра Тригонометрия уравнения 9 класс
2025-02-08 08:56:42
Чтобы решить уравнение 2cos² X + 7sin X - 5 = 0, начнем с того, что мы можем воспользоваться тригонометрической идентичностью, которая связывает синус и косинус:
Шаг 1: Замена переменных
Мы знаем, что cos² X = 1 - sin² X. Подставим это в уравнение:
2(1 - sin² X) + 7sin X - 5 = 0.
Шаг 2: Раскроем скобки
Теперь раскроем скобки:
- 2 - 2sin² X + 7sin X - 5 = 0.
Шаг 3: Упрощение уравнения
Упростим уравнение:
- -2sin² X + 7sin X - 3 = 0.
Умножим все уравнение на -1, чтобы избавиться от отрицательного коэффициента при sin² X:
- 2sin² X - 7sin X + 3 = 0.
Шаг 4: Решение квадратного уравнения
Теперь у нас есть квадратное уравнение вида:
2y² - 7y + 3 = 0,
где y = sin X. Мы можем использовать формулу для решения квадратного уравнения:
y = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a,
где a = 2, b = -7, c = 3.
Шаг 5: Вычисление дискриминанта
- Дискриминант D = b² - 4ac = (-7)² - 4 * 2 * 3 = 49 - 24 = 25.
Шаг 6: Находим корни
- Теперь подставим значения в формулу:
- y1 = (7 + √25) / (2 * 2) = (7 + 5) / 4 = 12 / 4 = 3.
- y2 = (7 - √25) / (2 * 2) = (7 - 5) / 4 = 2 / 4 = 0.5.
Шаг 7: Обратная замена
Теперь вернемся к переменной sin X:
- sin X = 3 (не подходит, так как синус не может быть больше 1);
- sin X = 0.5.
Шаг 8: Нахождение углов
Теперь найдем углы X, для которых sin X = 0.5:
- X = 30° + 360°n,
- X = 150° + 360°n,
где n - любое целое число.
Итог: Уравнение 2cos² X + 7sin X - 5 = 0 имеет решения X = 30° + 360°n и X = 150° + 360°n, где n - любое целое число.
