Как можно решить уравнение 2sinx - 3cosx + 2 = 0?

Математика 9 класс Тригонометрические уравнения решение уравнения уравнение 2sinx - 3cosx + 2 = 0 математика 9 класс тригонометрические уравнения нахождение корней уравнения Новый

Чтобы решить уравнение 2sin(x) - 3cos(x) + 2 = 0, давайте следовать пошагово:

1. Перепишем уравнение: Начнем с того, что переместим все члены уравнения в одну сторону:

2sin(x) - 3cos(x) = -2

2. Выразим одну тригонометрическую функцию через другую: Мы можем выразить sin(x) через cos(x) или наоборот. Давайте выразим sin(x):

2sin(x) = -2 + 3cos(x)

sin(x) = (-2 + 3cos(x)) / 2

3. Используем основное тригонометрическое тождество: Мы знаем, что sin^2(x) + cos^2(x) = 1. Подставим выражение для sin(x):

((-2 + 3cos(x)) / 2)^2 + cos^2(x) = 1

4. Раскроем скобки и упростим: Сначала найдем квадрат:

(-2 + 3cos(x))^2 / 4 + cos^2(x) = 1

(4 - 12cos(x) + 9cos^2(x)) / 4 + cos^2(x) = 1

5. Умножим все на 4, чтобы избавиться от дроби:

4 + 9cos^2(x) - 12cos(x) + 4cos^2(x) = 4

6. Соберем подобные члены:

13cos^2(x) - 12cos(x) = 0

7. Вынесем общий множитель:

cos(x)(13cos(x) - 12) = 0

8. Решим полученное уравнение: У нас есть два случая:
• cos(x) = 0
• 13cos(x) - 12 = 0
9. Решаем первый случай: cos(x) = 0. Это происходит при:

x = π/2 + kπ, где k - целое число.

10. Решаем второй случай: 13cos(x) - 12 = 0:

cos(x) = 12/13.

Теперь найдем x:

x = arccos(12/13) + 2kπ и x = -arccos(12/13) + 2kπ, где k - целое число.

Итак, окончательные решения:

• x = π/2 + kπ, k - целое число.
• x = arccos(12/13) + 2kπ и x = -arccos(12/13) + 2kπ, k - целое число.

Таким образом, мы нашли все возможные решения данного уравнения.