Как можно решить уравнение cos7x cos6x = cos5x cos8x?

Математика 9 класс Тригонометрические уравнения уравнение cos7x cos6x cos5x cos8x решение уравнения Тригонометрия математические уравнения 9 класс математика Новый

Чтобы решить уравнение cos(7x) * cos(6x) = cos(5x) * cos(8x), давайте воспользуемся тригонометрическими формулами и свойствами косинуса.

Сначала мы можем использовать формулы произведения косинусов. Существует формула для произведения косинусов:

• cos(A) * cos(B) = 0.5 * (cos(A + B) + cos(A - B))

Применим эту формулу к обеим сторонам уравнения:

1. Левая сторона: cos(7x) * cos(6x) = 0.5 * (cos(13x) + cos(x))
2. Правая сторона: cos(5x) * cos(8x) = 0.5 * (cos(13x) + cos(3x))

Теперь подставим эти выражения в исходное уравнение:

0.5 * (cos(13x) + cos(x)) = 0.5 * (cos(13x) + cos(3x))

Умножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от коэффициента 0.5:

cos(13x) + cos(x) = cos(13x) + cos(3x)

Теперь вычтем cos(13x) из обеих сторон:

cos(x) = cos(3x)

Теперь мы имеем уравнение cos(x) = cos(3x). Это уравнение можно решить, используя свойства косинуса. Мы знаем, что:

• cos(A) = cos(B) тогда и только тогда, когда A = B + 2kπ или A = -B + 2kπ, где k — целое число.

Применим это к нашему уравнению:

1. Первый случай: x = 3x + 2kπ
2. Второй случай: x = -3x + 2kπ

Решим первый случай:

1. x - 3x = 2kπ
2. -2x = 2kπ
3. x = -kπ

Теперь решим второй случай:

1. x + 3x = 2kπ
2. 4x = 2kπ
3. x = (k/2)π

Таким образом, у нас есть два семейства решений:

• x = -kπ, где k — целое число.
• x = (k/2)π, где k — целое число.

Это и есть все решения уравнения cos(7x) * cos(6x) = cos(5x) * cos(8x).