Как можно решить уравнение у³ - 6у² + 12у - 8 = 0?

Математика 9 класс Уравнения третьей степени уравнение решение уравнения математика 9 класс уравнение третьей степени методы решения уравнений Новый

Для решения уравнения у³ - 6у² + 12у - 8 = 0 мы можем воспользоваться методом разложения на множители или применить теорему Виета. Давайте рассмотрим шаги решения подробно.

1. Проверка на наличие рациональных корней:

   Сначала попробуем найти корни уравнения, подставляя целые числа. Проверим, например, у = 2:

   2³ - 6 * 2² + 12 * 2 - 8 = 8 - 24 + 24 - 8 = 0.

   Таким образом, у = 2 является корнем уравнения.

2. Разложение на множители:

   Теперь, когда мы нашли один корень, можем разложить уравнение на множители, используя корень у = 2.

   Мы можем использовать деление многочлена или синтетическое деление. Разделим у³ - 6у² + 12у - 8 на (у - 2):

   • Первый шаг: у³ делим на у, получаем у².
   • Второй шаг: умножаем (у - 2) на у², получаем у³ - 2у².
   • Третий шаг: вычитаем: (у³ - 6у²) - (у³ - 2у²) = -4у².
   • Четвертый шаг: спускаем следующий член (12у), получаем -4у² + 12у.
   • Пятый шаг: делим -4у² на у, получаем -4у.
   • Шестой шаг: умножаем (у - 2) на -4у, получаем -4у² + 8у.
   • Седьмой шаг: вычитаем: (-4у² + 12у) - (-4у² + 8у) = 4у.
   • Восьмой шаг: спускаем последний член (-8), получаем 4у - 8.
   • Девятый шаг: делим 4у на у, получаем 4.
   • Десятый шаг: умножаем (у - 2) на 4, получаем 4у - 8.
   • Одиннадцатый шаг: вычитаем: (4у - 8) - (4у - 8) = 0.

   Таким образом, мы получили, что у³ - 6у² + 12у - 8 = (у - 2)(у² - 4у + 4).

3. Решение квадратного уравнения:

   Теперь у нас есть квадратное уравнение у² - 4у + 4 = 0. Это уравнение можно решить по формуле или заметить, что оно является полным квадратом:

   у² - 4у + 4 = (у - 2)² = 0.

   Таким образом, у = 2 - это корень кратности 2.

4. Итог:

   Все корни уравнения у³ - 6у² + 12у - 8 = 0:

   • у = 2 (кратность 3).

Таким образом, уравнение имеет один корень, который равен 2, и он имеет кратность 3.