Каковы корни уравнения 3x^3 - x^2 - 27x + 9 = 0?

Математика 9 класс Уравнения третьей степени корни уравнения уравнение третьей степени решение уравнения математические задачи алгебра 9 класс Новый

Чтобы найти корни уравнения 3x^3 - x^2 - 27x + 9 = 0, мы можем использовать метод подбора и деления многочленов, а также теорему Виета.

Шаг 1: Подбор целых корней.

Сначала попробуем найти рациональные корни уравнения. Для этого воспользуемся теоремой о рациональных корнях, которая гласит, что возможные рациональные корни уравнения имеют вид p/q, где p - делители свободного члена (в нашем случае 9), а q - делители коэффициента при старшей степени (в нашем случае 3).

• Делители 9: ±1, ±3, ±9
• Делители 3: ±1, ±3

Таким образом, возможные рациональные корни: ±1, ±3, ±9, ±1/3, ±3/3 (что равно ±1).

Шаг 2: Проверка возможных корней.

Теперь будем подставлять найденные значения в уравнение и проверять, при каком значении уравнение равно нулю.

• Для x = 1: 3(1)^3 - (1)^2 - 27(1) + 9 = 3 - 1 - 27 + 9 = -16 (не корень)
• Для x = -1: 3(-1)^3 - (-1)^2 - 27(-1) + 9 = -3 - 1 + 27 + 9 = 32 (не корень)
• Для x = 3: 3(3)^3 - (3)^2 - 27(3) + 9 = 3(27) - 9 - 81 + 9 = 81 - 9 - 81 + 9 = 0 (корень)
• Для x = -3: 3(-3)^3 - (-3)^2 - 27(-3) + 9 = 3(-27) - 9 + 81 + 9 = -81 - 9 + 81 + 9 = 0 (корень)

Таким образом, мы нашли два корня: x = 3 и x = -3.

Шаг 3: Деление многочлена.

Теперь, когда мы нашли корни, можно использовать деление многочленов, чтобы упростить уравнение. Мы можем разделить 3x^3 - x^2 - 27x + 9 на (x - 3) и (x + 3).

Сначала разделим на (x - 3):

При делении получаем 3x^2 + 8x - 3.

Теперь разделим 3x^2 + 8x - 3 на (x + 3):

При делении получаем 3x - 1.

Таким образом, у нас есть:

3x^3 - x^2 - 27x + 9 = (x - 3)(x + 3)(3x - 1).

Шаг 4: Найдем оставшийся корень.

Теперь решим уравнение 3x - 1 = 0:

1. 3x = 1
2. x = 1/3

Шаг 5: Запишем все корни.

Таким образом, корни уравнения 3x^3 - x^2 - 27x + 9 = 0:

• x = 3
• x = -3
• x = 1/3

Ответ: корни уравнения -3, 1/3 и 3.