Как решить уравнение x^3 + 5x^2 - x - 5 = 0?

Математика 9 класс Уравнения третьей степени решение уравнения уравнение x^3 + 5x^2 - x - 5 математика 9 класс алгебра корни уравнения методы решения уравнений Новый

Для решения уравнения x^3 + 5x^2 - x - 5 = 0 мы можем использовать метод подбора корней и затем разложение на множители.

1. Подбор корней: Начнем с подбора возможных целых корней уравнения. Мы можем использовать теорему о рациональных корнях, которая говорит, что возможные рациональные корни уравнения имеют вид ± делители свободного члена. В нашем случае свободный член равен -5, поэтому возможные корни: ±1, ±5.
2. Проверка корней: Подставим эти значения в уравнение и посмотрим, какое из них является корнем:
   • Для x = 1:

     1^3 + 5*1^2 - 1 - 5 = 1 + 5 - 1 - 5 = 0. 1 является корнем.

   • Для x = -1:

     (-1)^3 + 5*(-1)^2 - (-1) - 5 = -1 + 5 + 1 - 5 = 0. -1 является корнем.

   • Для x = 5:

     5^3 + 5*5^2 - 5 - 5 = 125 + 125 - 5 - 5 = 240. 5 не является корнем.

   • Для x = -5:

     (-5)^3 + 5*(-5)^2 - (-5) - 5 = -125 + 125 + 5 - 5 = 0. -5 является корнем.

3. Разложение на множители: Теперь, когда мы нашли корень x = 1, мы можем разложить многочлен на множители. Мы можем использовать деление многочлена на (x - 1):
   • Делим x^3 + 5x^2 - x - 5 на (x - 1). После деления мы получим:

     x^3 + 5x^2 - x - 5 = (x - 1)(x^2 + 6x + 5).

4. Решение квадратного уравнения: Теперь решим квадратное уравнение x^2 + 6x + 5 = 0:
   • Находим дискриминант D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4*1*5 = 36 - 20 = 16.
   • Так как D > 0, у уравнения два различных корня:
     • x1 = (-b + sqrt(D)) / (2a) = (-6 + 4) / 2 = -1.
     • x2 = (-b - sqrt(D)) / (2a) = (-6 - 4) / 2 = -5.
5. Итог: Таким образом, у уравнения x^3 + 5x^2 - x - 5 = 0 три корня:
   • x1 = 1,
   • x2 = -1,
   • x3 = -5.

Ответ: x = 1, x = -1, x = -5.