Как можно составить уравнение окружности, если её центр расположен на оси ординат и она проходит через точки A(-3;0) и B(0;9)?

Математика 9 класс Уравнения окружности уравнение окружности центр на оси ординат точки A и B математика 9 класс геометрия окружности Новый

Чтобы составить уравнение окружности, нам нужно знать координаты её центра и радиус. Учитывая, что центр окружности расположен на оси ординат, его координаты будут иметь вид (0, R), где R - это ордината центра.

Окружность проходит через точки A(-3;0) и B(0;9). Это значит, что расстояние от центра окружности до этих точек будет равным радиусу окружности. Мы можем использовать формулу расстояния между двумя точками для нахождения радиуса.

Сначала найдем радиус, используя точку A(-3;0):

1. Запишем координаты центра окружности: C(0, R).
2. Вычислим расстояние от точки A до центра C:
• Расстояние = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²), где (x1, y1) - координаты A, а (x2, y2) - координаты C.
• Подставляем значения: √((-3 - 0)² + (0 - R)²) = √(9 + R²).

Теперь найдем радиус, используя точку B(0;9):

1. Вычислим расстояние от точки B до центра C:
• Расстояние = √((0 - 0)² + (9 - R)²) = √((9 - R)²).
• Это расстояние равно |9 - R|.

Теперь у нас есть два выражения для радиуса:

1. √(9 + R²) = |9 - R|.

Теперь решим это уравнение.

Сначала рассмотрим случай, когда 9 - R ≥ 0 (то есть R ≤ 9):

1. Убираем модуль: √(9 + R²) = 9 - R.
2. Возводим обе стороны в квадрат: 9 + R² = (9 - R)².
3. Раскрываем скобки: 9 + R² = 81 - 18R + R².
4. Упрощаем: 9 = 81 - 18R.
5. Переносим 81: 18R = 81 - 9 = 72.
6. Находим R: R = 72 / 18 = 4.

Теперь рассмотрим случай, когда 9 - R < 0 (то есть R > 9):

1. Убираем модуль: √(9 + R²) = R - 9.
2. Возводим обе стороны в квадрат: 9 + R² = (R - 9)².
3. Раскрываем скобки: 9 + R² = R² - 18R + 81.
4. Упрощаем: 9 = -18R + 81.
5. Переносим 81: 18R = 81 - 9 = 72.
6. Находим R: R = 72 / 18 = 4.

В обоих случаях мы получаем, что R = 4.

Теперь мы можем записать уравнение окружности. Уравнение окружности имеет вид:

(x - x0)² + (y - y0)² = r², где (x0, y0) - координаты центра, а r - радиус.

Подставляем значения:

(x - 0)² + (y - 4)² = 4².

Таким образом, уравнение окружности будет:

x² + (y - 4)² = 16.