Как можно упростить выражение 5i^11 + 4i^18 - 3i^32 + 2i^7, деленное на 2i^4 + 3i^42 - 3i^61?

Математика 9 класс Комплексные числа Упрощение выражения математика 9 класс комплексные числа деление комплексных чисел степени i алгебраические выражения Новый

Для упрощения данного выражения начнем с того, что вспомним, что i - это мнимая единица, и ее степени имеют периодичность. Мы знаем, что:

• i^1 = i
• i^2 = -1
• i^3 = -i
• i^4 = 1

После i^4 начинается новый цикл: i^5 = i, i^6 = -1 и так далее. Таким образом, степени i можно свести к остаткам от деления на 4.

Теперь упростим каждую степень в числителе:

1. 5i^11: 11 делим на 4, остаток 3. Значит, i^11 = i^3 = -i. Получаем 5i^11 = 5(-i) = -5i.
2. 4i^18: 18 делим на 4, остаток 2. Значит, i^18 = i^2 = -1. Получаем 4i^18 = 4(-1) = -4.
3. -3i^32: 32 делим на 4, остаток 0. Значит, i^32 = i^0 = 1. Получаем -3i^32 = -3(1) = -3.
4. 2i^7: 7 делим на 4, остаток 3. Значит, i^7 = i^3 = -i. Получаем 2i^7 = 2(-i) = -2i.

Теперь подставим все это в числитель:

Числитель: -5i - 4 - 3 - 2i = -4 - 5i - 2i = -4 - 7i.

Теперь упростим знаменатель:

1. 2i^4: i^4 = 1. Получаем 2i^4 = 2(1) = 2.
2. 3i^42: 42 делим на 4, остаток 2. Значит, i^42 = i^2 = -1. Получаем 3i^42 = 3(-1) = -3.
3. -3i^61: 61 делим на 4, остаток 1. Значит, i^61 = i^1 = i. Получаем -3i^61 = -3i.

Теперь подставим все это в знаменатель:

Знаменатель: 2 - 3 - 3i = -1 - 3i.

Теперь у нас есть полное выражение:

(-4 - 7i) / (-1 - 3i).

Чтобы упростить дробь, умножим числитель и знаменатель на сопряженное значение знаменателя (-1 + 3i):

Числитель: (-4 - 7i)(-1 + 3i) = 4 - 12i + 7i - 21 = 4 - 5i - 21 = -17 - 5i.

Знаменатель: (-1 - 3i)(-1 + 3i) = 1 - 9 = -8.

Теперь можем записать результат:

(-17 - 5i) / -8 = 17/8 + (5/8)i.

Таким образом, окончательный ответ:

17/8 + (5/8)i.