Как решить уравнение: (2sin 2x - cos 2x) (1 + cos 2x) = sin^2 2x? Спасибо.

Математика 9 класс Тригонометрические уравнения решение уравнения тригонометрические функции синус косинус уравнения математики 9 класс математика Новый

Давайте решим уравнение: (2sin 2x - cos 2x) (1 + cos 2x) = sin^2 2x. Мы будем действовать шаг за шагом.

1. Раскроем скобки слевой части уравнения:
• (2sin 2x - cos 2x)(1 + cos 2x) = 2sin 2x * 1 + 2sin 2x * cos 2x - cos 2x * 1 - cos 2x * cos 2x
• Это упрощается до: 2sin 2x + 2sin 2x * cos 2x - cos 2x - cos^2 2x.
2. Теперь запишем уравнение в более простом виде:
• 2sin 2x + 2sin 2x * cos 2x - cos 2x - cos^2 2x = sin^2 2x.
3. Переносим все члены в одну сторону:
• 2sin 2x + 2sin 2x * cos 2x - cos 2x - cos^2 2x - sin^2 2x = 0.
4. Используем тригонометрические тождества:
• Заменим sin^2 2x на 1 - cos^2 2x (по тождеству Пифагора).
• Теперь у нас получится: 2sin 2x + 2sin 2x * cos 2x - cos 2x - cos^2 2x - (1 - cos^2 2x) = 0.
• Упрощаем: 2sin 2x + 2sin 2x * cos 2x - cos 2x - 1 = 0.
5. Теперь можно выделить общие множители:
• 2sin 2x(1 + cos 2x) - cos 2x - 1 = 0.
6. Решим полученное уравнение:
• Можно рассмотреть два случая:
• Случай 1: 2sin 2x(1 + cos 2x) = cos 2x + 1.
• Случай 2: 2sin 2x = 0.
7. Решаем первый случай:
• 2sin 2x(1 + cos 2x) = cos 2x + 1.
• Это уравнение можно решить, подставив значения для sin и cos.
8. Решаем второй случай:
• 2sin 2x = 0, что дает sin 2x = 0.
• Следовательно, 2x = nπ, где n - целое число.
• Отсюда x = nπ/2.

Таким образом, у нас есть два типа решений: те, что получены из первого случая, и те, что получены из второго. Обязательно проверьте каждое решение в исходном уравнении, чтобы убедиться, что они подходят.