Как решить уравнение:

9/π * arctg(tg(8π/9)) + tg(3x) = cos(arccos(-√3/2) + π/6)

Математика 9 класс Тригонометрические уравнения решение уравнения математика 9 класс арктангенс тангенс косинус арккосинус тригонометрические функции Новый

Чтобы решить уравнение:

9/π * arctg(tg(8π/9)) + tg(3x) = cos(arccos(-√3/2) + π/6),

мы будем следовать нескольким шагам.

1. Упростим левую часть уравнения:
   • Сначала найдем значение arctg(tg(8π/9)). Поскольку tg и arctg являются обратными функциями, мы можем использовать свойство, что tg(θ) = tg(θ + πn) для любого целого n.
   • Так как 8π/9 находится в третьей четверти, где тангенс отрицательный, мы получаем: tg(8π/9) = tg(8π/9 - π) = tg(-π/9) = -tg(π/9).
   • Следовательно, arctg(tg(8π/9)) = 8π/9, так как это значение находится в пределах определения функции arctg.
2. Теперь подставим это значение обратно в уравнение:
   • Теперь у нас есть: 9/π * (8π/9) + tg(3x) = cos(arccos(-√3/2) + π/6).
   • Упростим: 9/π * (8π/9) = 8.
   • Таким образом, уравнение становится: 8 + tg(3x) = cos(arccos(-√3/2) + π/6).
3. Упростим правую часть уравнения:
   • Теперь найдем cos(arccos(-√3/2) + π/6). Сначала определим arccos(-√3/2), это значение равно 5π/6, так как cos(5π/6) = -√3/2.
   • Теперь подставим: cos(5π/6 + π/6) = cos(π) = -1.
4. Теперь у нас есть уравнение:
   • 8 + tg(3x) = -1.
   • Переносим 8 на правую сторону: tg(3x) = -1 - 8 = -9.
5. Теперь решим уравнение tg(3x) = -9:
   • tg(θ) = -9, значит, 3x = arctg(-9) + πn, где n - любое целое число.
   • Теперь найдем значение arctg(-9). Это значение будет отрицательным, так как арктангенс отрицателен в 4-й четверти.
   • Таким образом, 3x = arctg(-9) + πn.
   • Теперь делим обе стороны на 3: x = (arctg(-9) + πn)/3.

Таким образом, общее решение уравнения будет:

x = (arctg(-9) + πn)/3, где n - любое целое число.