Как решить уравнение: Cos x = 2 sin 2x + cos 3x?

Математика 9 класс Тригонометрические уравнения решение уравнения cos x 2 sin 2x cos 3x тригонометрические уравнения математика 9 класс методы решения уравнений Новый

Для решения уравнения cos x = 2 sin 2x + cos 3x мы можем использовать тригонометрические тождества и свойства тригонометрических функций. Давайте разберем шаги по решению этого уравнения.

1. Преобразуем правую часть уравнения: Используем тождество для sin 2x и cos 3x.
• Мы знаем, что sin 2x = 2 sin x cos x.
• Также можно выразить cos 3x через cos x и sin x: cos 3x = 4 cos^3 x - 3 cos x.
2. Подставим эти выражения в уравнение:
• Тогда уравнение станет: cos x = 2(2 sin x cos x) + (4 cos^3 x - 3 cos x).
• Упростим правую часть: cos x = 4 sin x cos x + 4 cos^3 x - 3 cos x.
3. Соберем все члены на одной стороне:
• Переносим все на одну сторону: cos x + 3 cos x - 4 sin x cos x - 4 cos^3 x = 0.
• Это упрощается до: 4 cos x - 4 sin x cos x - 4 cos^3 x = 0.
4. Вынесем общий множитель:
• Вынесем 4 cos x: 4 cos x (1 - sin x - cos^2 x) = 0.
5. Решим каждую часть уравнения:
• Первая часть: 4 cos x = 0 дает cos x = 0, что означает x = π/2 + kπ, где k - целое число.
• Вторая часть: 1 - sin x - cos^2 x = 0. Заменим cos^2 x на 1 - sin^2 x: 1 - sin x - (1 - sin^2 x) = 0, что упрощается до sin^2 x - sin x = 0.
• Это можно факторизовать: sin x (sin x - 1) = 0, что дает sin x = 0 или sin x = 1.
• Решение sin x = 0 дает x = kπ, а sin x = 1 дает x = π/2 + 2kπ.

Таким образом, окончательные решения уравнения:

• x = π/2 + kπ, где k - целое число;
• x = kπ, где k - целое число;
• x = π/2 + 2kπ, где k - целое число.

Это и есть все решения данного тригонометрического уравнения!