Как решить уравнение: sin(x + pi/6) + cos(x - pi/6) = 0?

Математика 9 класс Тригонометрические уравнения решение уравнения математика 9 класс тригонометрические функции sin cos уравнение уравнение с синусом и косинусом Новый

Чтобы решить уравнение sin(x + π/6) + cos(x - π/6) = 0, давайте начнем с преобразования выражения.

1. Перепишем уравнение:

• sin(x + π/6) = -cos(x - π/6).

2. Теперь воспользуемся формулами для синуса и косинуса суммы:

• sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b),
• cos(a - b) = cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b).

3. Подставим в уравнение:

• sin(x)cos(π/6) + cos(x)sin(π/6) = - (cos(x)cos(π/6) + sin(x)sin(π/6)).

4. Зная, что cos(π/6) = √3/2 и sin(π/6) = 1/2, подставим эти значения:

• (√3/2)sin(x) + (1/2)cos(x) = -((√3/2)cos(x) - (1/2)sin(x)).

5. Упростим уравнение:

• (√3/2)sin(x) + (1/2)cos(x) + (√3/2)cos(x) - (1/2)sin(x) = 0.

6. Соберем подобные слагаемые:

• (√3/2 - 1/2)sin(x) + (1/2 + √3/2)cos(x) = 0.

7. Упростим коэффициенты:

• (√3/2 - 1/2) = (√3 - 1)/2,
• (1/2 + √3/2) = (1 + √3)/2.

8. Теперь у нас есть:

• ((√3 - 1)/2)sin(x) + ((1 + √3)/2)cos(x) = 0.

9. Умножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от дробей:

• (√3 - 1)sin(x) + (1 + √3)cos(x) = 0.

10. Переносим одно из слагаемых:

• (√3 - 1)sin(x) = -(1 + √3)cos(x).

11. Делим обе стороны на cos(x) (при условии, что cos(x) не равен нулю):

• tan(x) = - (1 + √3) / (√3 - 1).

12. Упростим правую часть:

• tan(x) = - (√3 + 1) / (√3 - 1).

13. Теперь найдем значения x, используя арктангенс:

• x = arctan(- (√3 + 1) / (√3 - 1)) + kπ, где k - целое число.

14. Поскольку тангенс имеет период π, мы можем записать общее решение:

• x = arctan(- (√3 + 1) / (√3 - 1)) + kπ.

15. Не забудьте проверить, в каких пределах мы ищем решение, и подставить k = 0, 1, -1 и так далее, чтобы найти все возможные решения в заданном интервале.

Таким образом, мы нашли общее решение уравнения. Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать их!