Для решения уравнения sin x + sin 2x + sin 3x = 0 мы можем воспользоваться некоторыми тригонометрическими свойствами и преобразованиями. Давайте разберем решение шаг за шагом.

1. Сначала заметим, что у нас есть сумма синусов. Мы можем использовать формулу для суммы синусов:

   sin A + sin B = 2 * sin((A + B)/2) * cos((A - B)/2).

   Однако, в нашем случае у нас три слагаемых, поэтому мы можем воспользоваться другой стратегией.

2. Попробуем преобразовать уравнение. Сначала выразим sin 2x и sin 3x через sin x:

   • sin 2x = 2 * sin x * cos x
   • sin 3x = 3 * sin x - 4 * sin^3 x (это формула для синуса тройного угла)

3. Теперь подставим эти выражения в исходное уравнение:

   sin x + 2 * sin x * cos x + (3 * sin x - 4 * sin^3 x) = 0.

4. Соберем все слагаемые:

   (1 + 2 * cos x + 3) * sin x - 4 * sin^3 x = 0.

   Это можно переписать как:

   (4 + 2 * cos x) * sin x - 4 * sin^3 x = 0.

5. Теперь вынесем sin x за скобки:

   sin x * ((4 + 2 * cos x) - 4 * sin^2 x) = 0.

6. Теперь у нас есть произведение, которое равно нулю. Это означает, что один из множителей равен нулю:

   • sin x = 0
   • (4 + 2 * cos x) - 4 * sin^2 x = 0

7. Решим первое уравнение:

   sin x = 0 дает нам решения:

   x = n * pi, где n - целое число.

8. Теперь решим второе уравнение:

   4 + 2 * cos x - 4 * (1 - cos^2 x) = 0.

   Приведем подобные слагаемые:

   4 + 2 * cos x - 4 + 4 * cos^2 x = 0.

   Это упрощается до:

   4 * cos^2 x + 2 * cos x = 0.

   Вынесем cos x:

   cos x (4 * cos x + 2) = 0.

   Это дает два случая:

   • cos x = 0, что дает x = (2n + 1) * pi / 2, где n - целое число.
   • 4 * cos x + 2 = 0, что дает cos x = -1/2, что дает x = 2n * pi / 3 + pi, где n - целое число.

9. Таким образом, все решения уравнения sin x + sin 2x + sin 3x = 0 можно записать как:

   • x = n * pi,
   • x = (2n + 1) * pi / 2,
   • x = 2n * pi / 3 + pi.

Это и есть все решения данного уравнения. Если у вас есть вопросы по какому-либо шагу, не стесняйтесь задавать!