Чтобы решить уравнение (y^2 + 4y)^2 - y^2 - (y - 2)(y + 2) - 4y^2(2y - 1) = 0, давайте разберем его по шагам.

• (y^2 + 4y)^2: Это квадрат бинома. Мы можем использовать формулу (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2, где a = y^2 и b = 4y.
• y^2: Это просто y в квадрате.
• (y - 2)(y + 2): Это разность квадратов, которая равна y^2 - 4.
• 4y^2(2y - 1): Это произведение, которое можно оставить в том виде, в котором оно есть.

Теперь давайте раскроем скобки и упростим выражение:

1. (y^2 + 4y)^2 = y^4 + 8y^3 + 16y^2
2. y^2 = y^2
3. (y - 2)(y + 2) = y^2 - 4
4. 4y^2(2y - 1) = 8y^3 - 4y^2

Теперь подставим эти выражения обратно в уравнение:

y^4 + 8y^3 + 16y^2 - y^2 - (y^2 - 4) - (8y^3 - 4y^2) = 0

Соберем все подобные члены:

• y^4 + 8y^3 - 8y^3 + 16y^2 - y^2 - y^2 + 4 = 0

После упрощения получаем:

y^4 + (16y^2 - 2y^2) + 4 = 0

Это равносильно:

y^4 + 14y^2 + 4 = 0

Теперь мы можем сделать замену переменной. Пусть x = y^2. Тогда уравнение принимает вид:

x^2 + 14x + 4 = 0

Используем формулу для решения квадратного уравнения:

x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a, где a = 1, b = 14, c = 4.

Подставляем значения:

• b^2 - 4ac = 14^2 - 4 * 1 * 4 = 196 - 16 = 180.
• Тогда x = (-14 ± √180) / 2.

Корень из 180 можно упростить:

√180 = √(36 * 5) = 6√5.

Теперь подставим это значение:

x = (-14 ± 6√5) / 2.

Это дает нам два значения для x:

• x1 = (-14 + 6√5) / 2
• x2 = (-14 - 6√5) / 2

Поскольку x = y^2, мы можем найти y, взяв корень из найденных значений x:

• y = ±√((-14 + 6√5) / 2)
• y = ±√((-14 - 6√5) / 2)

Эти значения y являются решениями исходного уравнения.