Чтобы найти количество восьмизначных чисел, произведение цифр которых равно 3375, начнем с разложения числа 3375 на простые множители.

Сначала заметим, что 3375 делится на 5, так как его последняя цифра - 5. Делим:

• 3375 ÷ 5 = 675

Теперь продолжаем делить 675 на 5:

• 675 ÷ 5 = 135

Продолжаем делить 135 на 5:

• 135 ÷ 5 = 27

Теперь 27 делится на 3:

• 27 ÷ 3 = 9
• 9 ÷ 3 = 3
• 3 ÷ 3 = 1

Таким образом, мы можем записать 3375 в виде простых множителей:

• 3375 = 5^3 * 3^3

Теперь нам нужно распределить эти множители между 8 цифрами, так чтобы произведение цифр давало 3375. Обратим внимание, что цифры могут принимать значения от 0 до 9, но 0 не может быть одной из цифр, так как в этом случае произведение будет равно 0.

Сначала мы можем использовать цифры 3 и 5, так как они входят в разложение. Однако, чтобы получить 8 цифр, нам нужно использовать больше цифр. Мы можем использовать 1 как нейтральный элемент, так как 1 не изменяет произведение.

Теперь давайте рассмотрим, как мы можем составить 8 цифр. Мы имеем:

• 3, 3, 3 (три тройки)
• 5, 5, 5 (три пятерки)
• 1, 1, 1, 1, 1, 1 (пять единиц)

Теперь у нас есть 8 цифр: три тройки, три пятерки и два единицы. Мы можем записать их как:

• 3, 3, 3, 5, 5, 5, 1, 1

Теперь нам нужно посчитать, сколько различных перестановок этих цифр можно составить. Количество перестановок можно найти по формуле:

n! / (k1! * k2! * ... * km!), где n - общее количество элементов, а k1, k2, ..., km - количество одинаковых элементов.

В нашем случае:

• n = 8 (всего 8 цифр)
• k1 = 3 (три тройки)
• k2 = 3 (три пятерки)
• k3 = 2 (две единицы)

Теперь подставим значения в формулу:

8! / (3! * 3! * 2!)

Теперь посчитаем:

• 8! = 40320
• 3! = 6
• 2! = 2

Теперь подставим в формулу:

40320 / (6 * 6 * 2) = 40320 / 72 = 560

Таким образом, количество восьмизначных чисел, произведение цифр которых равно 3375, равно 560.