Какова площадь прямоугольника, если его периметр равен 16, а стороны равны катетам треугольника с гипотенузой √34?

Математика 9 класс Площадь фигур площадь прямоугольника периметр 16 катеты треугольника гипотенуза √34 задачи по математике геометрия формулы площади Новый

Давайте решим задачу шаг за шагом.

У нас есть прямоугольник, периметр которого равен 16. Мы знаем, что периметр P прямоугольника можно вычислить по формуле:

P = 2(a + b)

где a и b – это стороны прямоугольника. Подставим известное значение периметра:

2(a + b) = 16

Теперь разделим обе стороны уравнения на 2:

a + b = 8

Следующий шаг – использовать информацию о гипотенузе треугольника. Гипотенуза равна √34. Мы знаем, что для прямоугольного треугольника с катетами a и b выполняется теорема Пифагора:

a² + b² = c²

где c – это гипотенуза. В нашем случае:

c = √34

Следовательно:

a² + b² = (√34)² = 34

Теперь у нас есть две системы уравнений:

• 1. a + b = 8
• 2. a² + b² = 34

Из первого уравнения выразим b через a:

b = 8 - a

Теперь подставим это выражение во второе уравнение:

a² + (8 - a)² = 34

Раскроем скобки:

a² + (64 - 16a + a²) = 34

Соберем подобные члены:

2a² - 16a + 64 = 34

Теперь перенесем 34 на левую сторону:

2a² - 16a + 30 = 0

Разделим все уравнение на 2 для упрощения:

a² - 8a + 15 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант D:

D = (-8)² - 4 * 1 * 15 = 64 - 60 = 4

Теперь находим корни уравнения:

a = (8 ± √4) / 2 = (8 ± 2) / 2

Это дает нам два значения:

a₁ = 10 / 2 = 5

a₂ = 6 / 2 = 3

Таким образом, мы получили два значения для a: 5 и 3. Соответственно, если a = 5, то b = 3, и наоборот.

Теперь мы можем найти площадь S прямоугольника, используя формулу:

S = a * b

Подставим найденные значения:

S = 5 * 3 = 15

Ответ: Площадь прямоугольника равна 15.