На доске нарисованы два правильных шестиугольника. Меньший из них имеет площадь 18, а наименьшая диагональ большего шестиугольника совпадает с наибольшей диагональю меньшего шестиугольника. Какова площадь фигуры, образовавшейся в результате пересечения этих двух шестиугольников?
Математика 9 класс Площадь фигур математика 9 класс правильный шестиугольник площадь шестиугольника диагонали шестиугольника пересечение фигур задачи по геометрии площадь фигуры свойства шестиугольников геометрические фигуры Новый
Чтобы решить задачу, давайте разберем ее по шагам.
Шаг 1: Найдем сторону меньшего шестиугольника.
Площадь правильного шестиугольника можно вычислить по формуле:
Площадь = (3 * корень(3) / 2) * a^2,
где "a" - это длина стороны шестиугольника.
У нас есть площадь меньшего шестиугольника, которая равна 18. Подставим это значение в формулу:
18 = (3 * корень(3) / 2) * a^2.
Теперь выразим "a^2":
a^2 = 18 * (2 / (3 * корень(3))) = 12 / корень(3).
Теперь найдем "a":
a = корень(12 / корень(3)) = корень(12) / корень(корень(3)) = корень(12) / (корень(3)^(1/2)) = корень(12 * 3^(1/2)) = корень(12 * корень(3)) = корень(36) = 6.
Шаг 2: Найдем площадь большего шестиугольника.
Наименьшая диагональ большего шестиугольника совпадает с наибольшей диагональю меньшего шестиугольника. Наибольшая диагональ правильного шестиугольника равна 2 * a, где "a" - это длина стороны шестиугольника.
Таким образом, для меньшего шестиугольника:
Наибольшая диагональ = 2 * 6 = 12.
Это значит, что наименьшая диагональ большего шестиугольника также равна 12.
Теперь, используя формулу для диагонали, мы можем найти сторону большего шестиугольника. Наименьшая диагональ шестиугольника равна корень(3) * a, где "a" - длина стороны. Подставим значение диагонали:
12 = корень(3) * b,
где "b" - длина стороны большего шестиугольника.
Теперь выразим "b":
b = 12 / корень(3) = 4 * корень(3).
Шаг 3: Найдем площадь большего шестиугольника.
Теперь можем найти площадь большего шестиугольника по той же формуле:
Площадь = (3 * корень(3) / 2) * b^2.
Подставляем значение "b":
Площадь = (3 * корень(3) / 2) * (4 * корень(3))^2 = (3 * корень(3) / 2) * 16 * 3 = (3 * корень(3) / 2) * 48 = 72 * корень(3).
Шаг 4: Найдем площадь пересечения шестиугольников.
Поскольку меньший шестиугольник полностью вписан в больший, площадь пересечения этих шестиугольников будет равна площади меньшего шестиугольника, которая равна 18.
Ответ: Площадь фигуры, образовавшейся в результате пересечения этих двух шестиугольников, равна 18.