Какова площадь прямоугольника, если его периметр равен 38 см, а диагональ равна корню из 193 см?

Математика 9 класс Площадь и периметр фигур площадь прямоугольника периметр 38 см диагональ корень из 193 задачи по математике геометрия 9 класс Новый

Чтобы найти площадь прямоугольника, нам нужно знать его длины сторон. У нас есть периметр и длина диагонали. Давайте разобьем решение на шаги.

Шаг 1: Используем формулы для периметра и диагонали.

Периметр прямоугольника P можно выразить через длины его сторон a и b:

P = 2(a + b)

В нашем случае периметр равен 38 см, поэтому:

2(a + b) = 38

Разделим обе стороны на 2:

a + b = 19

Теперь рассмотрим диагональ. Длина диагонали d связана со сторонами прямоугольника следующим образом:

d = √(a² + b²)

В нашем случае d = √193, поэтому:

√(a² + b²) = √193

Квадратируем обе стороны:

a² + b² = 193

Шаг 2: Решаем систему уравнений.

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1. a + b = 19
2. a² + b² = 193

Из первого уравнения выразим b через a:

b = 19 - a

Теперь подставим b во второе уравнение:

a² + (19 - a)² = 193

Раскроем скобки:

a² + (19² - 38a + a²) = 193

Это упростится до:

2a² - 38a + 361 = 193

Теперь перенесем 193 на левую сторону:

2a² - 38a + 361 - 193 = 0

2a² - 38a + 168 = 0

Шаг 3: Решаем квадратное уравнение.

Теперь у нас есть квадратное уравнение. Мы можем использовать дискриминант для его решения:

D = b² - 4ac

Где a = 2, b = -38, c = 168:

D = (-38)² - 4 * 2 * 168

D = 1444 - 1344 = 100

Теперь находим корни уравнения:

a = (38 ± √100) / (2 * 2)

a = (38 ± 10) / 4

Это дает два значения:

1. a₁ = (48) / 4 = 12
2. a₂ = (28) / 4 = 7

Теперь найдем соответствующие значения b:

• Если a = 12, то b = 19 - 12 = 7
• Если a = 7, то b = 19 - 7 = 12

Шаг 4: Находим площадь прямоугольника.

Площадь S прямоугольника вычисляется по формуле:

S = a * b

Подставим найденные значения:

S = 12 * 7 = 84 см²

Ответ:

Площадь прямоугольника равна 84 см².