Похожие вопросы
2025-08-31 11:56:39
Какова сумма корней уравнения sin πx + cos πx = 1, которые находятся в пределах отрезка [-3; 1]?
Математика 9 класс Тригонометрические уравнения сумма корней уравнение sin cos πx отрезок [-3; 1] математика 9 класс
2025-08-31 11:56:47
Давайте решим уравнение sin(πx) + cos(πx) = 1 и найдем сумму корней, которые находятся в пределах отрезка [-3; 1].
1. Первое, что мы можем сделать, это преобразовать уравнение. Мы знаем, что sin(α) + cos(α) достигает максимума 1, когда sin(α) = 0 и cos(α) = 1. Это происходит, когда α = 2nπ, где n - целое число. Таким образом, у нас есть:
sin(πx) + cos(πx) = 1
=> cos(πx) = 1 - sin(πx)
2. Поскольку cos(πx) достигает значения 1, это возможно, когда:
- sin(πx) = 0
- cos(πx) = 1
3. Условие sin(πx) = 0 выполняется, когда:
- πx = nπ, где n - целое число
- x = n, где n - целое число
4. Условие cos(πx) = 1 выполняется, когда:
- πx = 2kπ, где k - целое число
- x = 2k, где k - целое число
5. Теперь найдем корни уравнения в заданном диапазоне [-3; 1].
- Для sin(πx) = 0:
x = -3, -2, -1, 0, 1 (все целые числа от -3 до 1) - Для cos(πx) = 1:
x = -2, 0 (только четные целые числа в этом диапазоне)
6. Теперь соберем все уникальные корни:
- -3
- -2
- -1
- 0
- 1
7. Теперь найдем сумму всех корней:
Сумма = -3 + (-2) + (-1) + 0 + 1 = -3 + (-2) + (-1) + 0 + 1 = -5.
Ответ: Сумма корней уравнения sin(πx) + cos(πx) = 1 в пределах отрезка [-3; 1] равна -5.