На соревнования по многоборью от каждой секции спортклуба было приглашено по пять спортсменов. Руководитель спортклуба составил команду из спортсменов, каждый из которых занимается ровно в двух секциях. Также любая пара секций была представлена как минимум одним спортсменом. Какое количество секций в спортклубе и сколько спортсменов было направлено на соревнования?

Математика 9 класс Комбинаторика математика 9 класс многоборье секции спортклуба спортсмены комбинации задачи по математике количество секций количество спортсменов Новый

Давайте разберемся с задачей шаг за шагом.

Обозначим количество секций в спортклубе как n. Поскольку от каждой секции было приглашено по пять спортсменов, общее количество спортсменов, которые могут быть направлены на соревнования, будет равно 5n.

Теперь обратим внимание на условие задачи, что каждый спортсмен занимается ровно в двух секциях. Это означает, что каждый спортсмен представляет пару секций. Поскольку любая пара секций должна быть представлена хотя бы одним спортсменом, нам нужно выяснить, сколько пар секций можно сформировать из n секций.

Количество пар секций можно вычислить по формуле сочетаний, которая выглядит следующим образом:

• Количество пар секций = C(n, 2) = n(n - 1) / 2

Каждая пара секций будет представлена хотя бы одним спортсменом. Поскольку каждый спортсмен представляет одну пару секций, то количество спортсменов, необходимых для того, чтобы представить все пары секций, будет равно количеству пар секций. Таким образом, мы можем записать следующее равенство:

Количество спортсменов = Количество пар секций

Подставляем значения:

• Количество спортсменов = 5n
• Количество пар секций = n(n - 1) / 2

Теперь мы можем записать уравнение:

5n = n(n - 1) / 2

Умножим обе стороны уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби:

10n = n(n - 1)

Теперь перенесем все в одну сторону:

n(n - 1) - 10n = 0

Это уравнение можно упростить:

n^2 - 11n = 0

Теперь вынесем n за скобки:

n(n - 11) = 0

Это уравнение имеет два решения:

• n = 0
• n = 11

Поскольку количество секций не может быть нулевым, мы принимаем n = 11.

Теперь, зная количество секций, мы можем найти общее количество спортсменов:

Количество спортсменов = 5n = 5 * 11 = 55

Таким образом, в спортклубе 11 секций, и на соревнования было направлено 55 спортсменов.