На сторонах AB, BC, CD и DA четырёхугольника ABCD отмечены соответственно точки M, N, P и O так, что AM = CP, BN = DQ, BM = DP, NC = QA. Как доказать, что ABCD и MNPQ являются параллелограммами?

Математика 9 класс Параллелограммы четырехугольник ABCD точки MNPQ параллелограммы доказательство свойства параллелограмма геометрия математика Новый

Для доказательства того, что четырехугольники ABCD и MNPQ являются параллелограммами, рассмотрим условия, которые были заданы в задаче. Мы знаем, что:

• AM = CP
• BN = DQ
• BM = DP
• NC = QA

Теперь давайте проанализируем данные условия и применим их для доказательства параллельности сторон.

1. Параллельность AB и MN:
   • Из условия AM = CP следует, что отрезок AM равен отрезку CP.
   • Также, из условия BM = DP следует, что отрезок BM равен отрезку DP.
   • Таким образом, мы можем сказать, что отрезки AM и BM вместе составляют отрезок AB, а отрезки CP и DP вместе составляют отрезок MN.
   • Так как AM + BM = AB и CP + DP = MN, мы можем утверждать, что AB || MN.
2. Параллельность BC и NP:
   • Из условия BN = DQ следует, что отрезок BN равен отрезку DQ.
   • Из условия NC = QA также следует, что отрезок NC равен отрезку QA.
   • Таким образом, отрезки BN и NC вместе составляют отрезок BC, а отрезки DQ и QA вместе составляют отрезок NP.
   • Следовательно, BC || NP.
3. Параллельность CD и PQ:
   • Из условия CP = AM мы уже использовали это для AB и MN, но теперь можем применить аналогично для CD и PQ.
   • Из условия DQ = BN также можно сказать, что отрезки DQ и BN вместе составляют отрезок CD, а PQ будет составлен из отрезков, которые равны по длине.
   • Таким образом, CD || PQ.
4. Параллельность DA и QM:
   • Из условия QA = NC мы можем утверждать, что отрезок QA равен отрезку NC.
   • Из условия DP = BM также следует, что отрезок DP равен отрезку BM.
   • Таким образом, отрезки QA и NC вместе составляют отрезок DA, а отрезки DP и BM вместе составляют отрезок QM.
   • Следовательно, DA || QM.

Таким образом, мы доказали, что каждая пара противоположных сторон четырехугольников ABCD и MNPQ является параллельной. Это и есть определение параллелограмма.

Итак, мы можем заключить, что четырехугольники ABCD и MNPQ являются параллелограммами.