На товарищеском турнире школьников по шахматам каждый школьник играл с каждым другим не более одной партии, а также каждый из них сыграл с приглашённым гроссмейстером не более одной партии. Всего сыграли 56 партий. Какое минимальное количество школьников могло участвовать в этом турнире?

Математика 9 класс Комбинаторика школьники шахматы турниры гроссмейстер количество партий решение задачи комбинаторика математика Новый

Давайте обозначим количество школьников как N. Каждый школьник играл с каждым другим школьником не более одной партии, а также с приглашённым гроссмейстером не более одной партии. Таким образом, общее количество партий можно выразить через количество школьников и количество партий с гроссмейстером.

Количество партий между школьниками можно вычислить по формуле сочетаний, которая выглядит так:

Количество партий между школьниками = C(N, 2) = N(N - 1) / 2

Здесь C(N, 2) - это количество способов выбрать 2 школьника из N, чтобы они сыграли партию.

Кроме того, каждый школьник сыграл одну партию с гроссмейстером. Таким образом, количество партий с гроссмейстером будет равно N, так как каждый школьник сыграл одну партию.

Итак, общее количество партий можно записать как:

Общее количество партий = Количество партий между школьниками + Количество партий с гроссмейстером

Подставим формулы:

56 = N(N - 1) / 2 + N

Умножим обе стороны уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби:

112 = N(N - 1) + 2N

Упростим уравнение:

112 = N^2 - N + 2N

112 = N^2 + N

Теперь перенесем 112 в левую часть:

N^2 + N - 112 = 0

Теперь решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = b^2 - 4ac

где a = 1, b = 1, c = -112:

D = 1^2 - 4 1 (-112) = 1 + 448 = 449

Теперь находим корни уравнения:

N = (-b ± √D) / 2a

N = (-1 ± √449) / 2

Теперь вычислим √449. Это примерно 21.1, так что подставляем:

N = (-1 ± 21.1) / 2

Рассмотрим только положительное значение:

N = (20.1) / 2 ≈ 10.05

Так как количество школьников должно быть целым, округляем до ближайшего целого числа. Минимально возможное целое значение N - это 11.

Таким образом, минимальное количество школьников, которые могли участвовать в турнире, равно 11.