Похожие вопросы
2024-11-30 20:05:20
На товарищеском турнире школьников по шахматам каждый школьник играл с каждым другим не более одной партии, а также каждый из них сыграл с приглашённым гроссмейстером не более одной партии. Всего сыграли 56 партий. Какое минимальное количество школьников могло участвовать в этом турнире?
Математика 9 класс Комбинаторика школьники шахматы турниры гроссмейстер количество партий решение задачи комбинаторика математика
2024-11-30 20:05:35
Давайте обозначим количество школьников как N. Каждый школьник играл с каждым другим школьником не более одной партии, а также с приглашённым гроссмейстером не более одной партии. Таким образом, общее количество партий можно выразить через количество школьников и количество партий с гроссмейстером.
Количество партий между школьниками можно вычислить по формуле сочетаний, которая выглядит так:
Количество партий между школьниками = C(N, 2) = N(N - 1) / 2Здесь C(N, 2) - это количество способов выбрать 2 школьника из N, чтобы они сыграли партию.
Кроме того, каждый школьник сыграл одну партию с гроссмейстером. Таким образом, количество партий с гроссмейстером будет равно N, так как каждый школьник сыграл одну партию.
Итак, общее количество партий можно записать как:
Общее количество партий = Количество партий между школьниками + Количество партий с гроссмейстеромПодставим формулы:
56 = N(N - 1) / 2 + NУмножим обе стороны уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби:
112 = N(N - 1) + 2NУпростим уравнение:
112 = N^2 - N + 2N 112 = N^2 + NТеперь перенесем 112 в левую часть:
N^2 + N - 112 = 0Теперь решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
D = b^2 - 4acгде a = 1, b = 1, c = -112:
D = 1^2 - 4 * 1 * (-112) = 1 + 448 = 449Теперь находим корни уравнения:
N = (-b ± √D) / 2a N = (-1 ± √449) / 2Теперь вычислим √449. Это примерно 21.1, так что подставляем:
N = (-1 ± 21.1) / 2Рассмотрим только положительное значение:
N = (20.1) / 2 ≈ 10.05Так как количество школьников должно быть целым, округляем до ближайшего целого числа. Минимально возможное целое значение N - это 11.
Таким образом, минимальное количество школьников, которые могли участвовать в турнире, равно 11.
