На товарищеском турнире школьников по шахматам каждый школьник сыграл с каждым другим не более одной партии, а также каждый из них сыграл с приглашённым гроссмейстером не более одной партии. Всего было сыграно 60 партий. Какое минимальное количество школьников могло участвовать в этом турнире?

Математика 9 класс Комбинаторика математика 9 класс задачи на комбинаторику турниры по шахматам количество школьников шахматный турнир минимальное количество участников решение задач математические задачи Новый

Давайте обозначим количество школьников как N. Поскольку каждый школьник играл с каждым другим школьником не более одной партии, общее количество партий между школьниками можно выразить через формулу сочетаний:

C(N, 2) = N(N - 1) / 2

Это количество пар, которые могут быть составлены из N школьников. Кроме того, каждый школьник сыграл одну партию с гроссмейстером, что добавляет N партий.

Таким образом, общее количество сыгранных партий можно выразить как:

Общее количество партий = C(N, 2) + N = N(N - 1) / 2 + N

Теперь мы знаем, что всего было сыграно 60 партий, поэтому мы можем записать уравнение:

N(N - 1) / 2 + N = 60

Умножим обе стороны уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби:

N(N - 1) + 2N = 120

Упрощаем уравнение:

N^2 - N + 2N = 120

N^2 + N - 120 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение. Для этого используем формулу корней квадратного уравнения:

N = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

В нашем случае a = 1, b = 1, c = -120. Подставим значения:

N = (-1 ± √(1² - 4 * 1 * (-120))) / (2 * 1)

N = (-1 ± √(1 + 480)) / 2

N = (-1 ± √481) / 2

Теперь вычислим корень из 481. Приблизительно √481 ≈ 21.93. Подставим это значение:

N = (-1 ± 21.93) / 2

Рассмотрим оба случая:

• N = (-1 + 21.93) / 2 ≈ 10.465 (не подходит, так как N должно быть целым числом)
• N = (-1 - 21.93) / 2 (отрицательное значение, не подходит)

Таким образом, мы округляем значение N = 10.465 до ближайшего целого числа, что дает нам N = 11.

Теперь проверим, действительно ли 11 школьников могут сыграть 60 партий:

C(11, 2) = 11 * 10 / 2 = 55

55 (партии между школьниками) + 11 (партии с гроссмейстером) = 66

Это больше, чем 60, значит, 11 школьников не подойдут. Проверим 10 школьников:

C(10, 2) = 10 * 9 / 2 = 45

45 (партии между школьниками) + 10 (партии с гроссмейстером) = 55

Это меньше, чем 60, значит, 10 школьников тоже не подойдут.

Таким образом, минимальное количество школьников, которое могло участвовать в турнире, равно 11.