Для начала давайте упростим данное уравнение:

У нас есть уравнение:

√((1-x)/(3x)) + (1/6) * √((3x)/(1-x)) = 1 1/6.

Запишем 1 1/6 в виде неправильной дроби:

1 1/6 = 7/6.

Теперь уравнение выглядит так:

√((1-x)/(3x)) + (1/6) * √((3x)/(1-x)) = 7/6.

Чтобы избавиться от дробей, умножим все части уравнения на 6:

6 * √((1-x)/(3x)) + √((3x)/(1-x)) = 7.

Теперь обозначим:

y = √((1-x)/(3x)).

Тогда √((3x)/(1-x)) можно выразить через y:

√((3x)/(1-x)) = 6y - 7.

Теперь подставим это выражение обратно в уравнение:

y + (1/6)(6y - 7) = 7/6.

Раскроем скобки:

y + y - 7/6 = 7/6.

Соберем все y в одну сторону:

2y - 7/6 = 7/6.

Теперь добавим 7/6 к обеим сторонам:

2y = 7/6 + 7/6 = 14/6 = 7/3.

Теперь разделим обе стороны на 2:

y = (7/3) / 2 = 7/6.

Теперь вернемся к выражению для y:

√((1-x)/(3x)) = 7/6.

Возведем обе стороны в квадрат:

(1-x)/(3x) = (7/6)² = 49/36.

Теперь решим это уравнение:

1-x = (49/36) * 3x.

Умножим обе стороны на 36, чтобы избавиться от дробей:

36(1-x) = 49 * 3x.

Это дает:

36 - 36x = 147x.

Теперь соберем все x в одну сторону:

36 = 147x + 36x.

36 = 183x.

Теперь найдем x:

x = 36 / 183 = 12 / 61.

Теперь мы нашли один корень уравнения. Поскольку данное уравнение может иметь более одного корня, проверим, есть ли другие корни. Однако мы видим, что при нашем подходе мы получили только один корень.

Теперь найдем сумму корней. В нашем случае у нас есть только один корень, поэтому сумма корней равна 12/61.

Теперь умножим полученный результат на 52:

(12/61) * 52 = 12 * 52 / 61 = 624 / 61.

Таким образом, ответ: