Для решения уравнения 4sin(x) + 5cos(x) = 4, следуем пошагово:

1. Перепишем уравнение: Начнем с того, что у нас есть уравнение 4sin(x) + 5cos(x) = 4. Мы можем выразить одну из тригонометрических функций через другую. Для этого отнимем 4 от обеих сторон:
2. Переносим:

   4sin(x) + 5cos(x) - 4 = 0

3. Попробуем выразить cos(x) через sin(x): Используем тригонометрическую идентичность sin^2(x) + cos^2(x) = 1. Выразим cos(x):
4. Выразим cos(x):

   cos(x) = sqrt(1 - sin^2(x))

5. Подставим в уравнение: Теперь подставим это выражение в наше уравнение:
6. Получаем:

   4sin(x) + 5sqrt(1 - sin^2(x)) = 4

7. Решим это уравнение: Это уравнение может быть сложно решать, поэтому давайте попробуем другой подход. Мы можем использовать метод замены. Введем новую переменную:
8. Замена:

   Пусть A = 4sin(x) + 5cos(x). Тогда A = 4.

9. Найдем максимальное значение A: Мы можем найти максимальное значение выражения 4sin(x) + 5cos(x) с помощью формулы:
10. Максимальное значение:

    Максимальное значение A = sqrt(4^2 + 5^2) = sqrt(16 + 25) = sqrt(41).

11. Проверим, возможно ли равенство: Если 4 < sqrt(41),то уравнение имеет решение. Это значит, что у нас есть решение:
12. Найдем углы:

    Используем формулу для нахождения угла:

    tan(φ) = 5/4, где φ — это угол, соответствующий коэффициентам перед sin и cos.

13. Находим φ:

    φ = arctan(5/4).

14. Записываем общее решение: Теперь, зная φ, мы можем записать решение:
15. Общее решение:

    x = φ + 2πk или x = π - φ + 2πk, где k — целое число.

Таким образом, общее решение уравнения 4sin(x) + 5cos(x) = 4 будет записано в виде:

x = arctan(5/4) + 2πk и x = π - arctan(5/4) + 2πk, где k — любое целое число.